通約性

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假若,兩個不等於零的实数 的除商 是一個有理數,或者說, 的比例相等於兩個非零整數 的比例:

則稱它們是互相可通約的(commensurable),而這特性則稱為通約性。這意味著,存在一個非零的實數公測數 (common measure) ,使得

所以

或是

其中 ,所以

反之,如果該二數的除商是一個無理數,則稱它們是不可通約的(incommensurable),亦即, 之間不存在一個公測數 使得

歷史[编辑]

畢達哥拉斯學派發現了不可通約數(無理數),這破壞了他們的比例論

為了挽救比例論,尤得塞斯提出了以幾何量為基礎的比例論,被歐幾里得收錄在《幾何原本》的第五冊中。 這本書裡面記載著,假若, 個線段 連接起來,成為一個線段,全等於線段 個線段 連接起來,成為一個線段,全等於線段 ;這裏,整數。那麼,兩個線段 是互相可通約的。歐幾里得並沒有用到實數的概念。他用到了線段與線段之間,全等,比較長,或比較短,這些概念。

數學[编辑]

設定實數 。那麼,實數 ,整數 的存在,促使

充分必要條件是除商 為有理數。

假設 是正值的實數。又假設我們有一支尺,長度單位為實數 。我們用這尺來測量兩個長度為 的線段。假若,所得到的答案都是整數,則稱 互相可通約的;否則,互相不可通約的

天文學[编辑]

天文學裏,兩個公轉於運行軌道的天體,像行星衛星、或小行星,假若,它們的公轉週期的比例是有理數,則稱它們相互呈現通約性

例如,海王星冥王星的軌道週期的比例是 2:3 。土星的兩個衛星,土衛六土衛七的軌道週期的比例是 3:4 。特洛伊小行星木星的軌道週期的比例是 1:1 。格利泽 876b格利泽 876c ,這兩個太陽系外行星的軌道週期的比例是 2:1 。

科學家認為天體的通約性應該是因為軌道共振而產生的。

物理學[编辑]

在一個週期性物理系統裏,每一個廣義坐標都有它運動的週期。假若,其中有任何廣義坐標的週期與別的廣義坐標的週期不相同,則稱此物理系統為多重週期性物理系統。假若,兩個廣義坐標的週期的比例是個有理數,則稱這兩個週期是互相可通約的。假若,每一個廣義坐標的週期與其它的廣義坐標的週期都是互相可通約的,則此系統是完全可通約的,稱此系統為完全可通約系統

參閱[编辑]