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有理曲面

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代數幾何裡,有理曲面(rational surface)是指一個雙有理等價投影平面的曲面;換句話說,即為一個二維有理簇。有理曲面是複曲面的十餘種恩里克斯-小平分類中最簡單的一類,且是第一個被研究的曲面。

結構

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每個非奇異曲面均可透過重復拉開最小有理曲面而取得。最小有理曲面可為投影平面,或希策布魯赫平面 Σr,其中 r = 0 或 r ≥ 2。

不變量:有理曲面的正則虧格均為0,其基本群均是平凡的。

霍奇鑽石

1
0 0
0 1+n 0
0 0
1

其中,n 等於 0 時為投影平面,等於 1 時為希策布魯赫曲面,大於 1 時則為其他有理曲面。

除了希策布魯赫曲面 Σ2m 為偶么模格 II1,1 之外,皮卡群均為奇么模格 I1,n

卡斯特爾諾沃定理

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吉多·卡斯特爾諾沃證明,任一複曲面,若使得 q 及 P2(不規則點及第二正則虧格)均消失,則該曲面為有理曲面。該定理被用於恩里克斯-小平分類中,以識別有理曲面。扎里斯基於1958年證明,卡斯特爾諾沃定理在特徵為正的體上亦成立[1]

卡斯特爾諾沃定理也意指任一單有理複曲面都是有理曲面,因為若一複曲面為單有理曲面,則其不規則點與正則虧格會小於有理曲面的不規則點與正則虧格,因此均為 0,所以該曲面為有理曲面。大多數三維以上的單有理複簇都不是有理曲面。在特徵 p > 0 時,扎里斯基於1958年發現,不是有理曲面,但為單有理曲面(扎里斯基曲面)之例子[1]

曾有一段時間不知道 q 及 P1 均消失的複曲面是否均為有理曲面,直到費德瑞格·恩里克斯找到一個反例(稱為恩里克斯曲面)為止。

有理曲面的例子

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另見

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參考資料

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  1. ^ 1.0 1.1 Zariski, Oscar, On Castelnuovo's criterion of rationality pa = P2 = 0 of an algebraic surface, Illinois Journal of Mathematics, 1958, 2: 303–315, ISSN 0019-2082, MR 0099990