根資料

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數學代數群領域中,根資料(原文為法文donnée radicielle)是一個連通、分裂、可簡約代數群的不變量。對於可簡約代數群,根資料是比根系更精細的不變量,若假設連通性,則它決定了代數群的結構(至多差一個同構)。根資料的定義首見於M. Demazure在SGA III中的闡述,於1970年出版。

定義[编辑]

根資料是一組資料,其中:

  • 是有限秩自由阿貝爾群,其間有一個配對使兩者互為對偶。
  • 的有限子集,的有限子集,並存在其間的雙射
  • 對任意,有
  • 對任意根鏡射導出根資料的自同構(換言之:它將一一映至,而在上導出的對偶映射則將一一映至)。
  • 類似地,對任意餘根鏡射導出根資料的自同構。

的元素稱作該根資料的的元素稱為餘根

不包含任意根的兩倍,則稱此根資料為既約的。

。若,稱此根資料為半單的,

從根資料到根系[编辑]

對於根資料,取中生成的子群,並設;利用對偶性,同樣可定義。可證明中的指數為有限的;因此可視為的對偶空間。可證明成為一個根系

與約化代數群的關係[编辑]

是域上的約化代數群,並具有在上分裂的極大環面。定義相應的根資料

  • (極大環面的特徵標
  • (極大環面的餘特徵標,或者說是其中的單參數子群
  • 是資料的根。
  • 是相應的餘根。

代數封閉域上的連通、約化代數群由其根資料決定。反之,給定任一組根資料,存在與之匹配的連通、約化代數群。根資料比根系丹金圖精確,因為它不僅刻劃了群的李代數結構,還刻劃了群的中心。

對偶性[编辑]

給定任一根資料,藉著將對換,將對換,可以得到新的根資料,稱為其對偶。

是代數封閉域上的連通、約化代數群,則根資料的對偶決定了複數域 上唯一的連通、約化、分裂代數群LG,稱為郎蘭茲對偶群

文獻[编辑]