根资料

在数学的代数群领域中，根资料（原文为法文donnée radicielle）是一个连通、分裂、可简约代数群的不变量。对于可简约代数群，根资料是比根系更精细的不变量，若假设连通性，则它决定了代数群的结构（至多差一个同构）。根资料的定义首见于M. Demazure在SGA III中的阐述，于1970年出版。

定义[编辑]

根资料是一组资料 $(X,\Phi ,X^{\vee },\Phi ^{\vee })$ ，其中：

$X,X^{\vee }$ 是有限秩自由阿贝尔群，其间有一个配对 $\langle ,\rangle :X\times X^{\vee }\rightarrow \mathbf {Z}$ 使两者互为对偶。
$\Phi$ 是 $X$ 的有限子集， $\Phi ^{\vee }$ 是 $X^{\vee }$ 的有限子集，并存在其间的双射 $\alpha \mapsto \alpha ^{\vee }$ 。
对任意 $\alpha \in \Phi$ ，有 $\langle \alpha ,\alpha ^{\vee }\rangle =2$ 。
对任意 $\alpha \in \Phi$ ，根镜射 $x\mapsto x-\langle x,\alpha ^{\vee }\rangle \alpha$ 导出根资料的自同构（换言之：它将 $\Phi$ 一一映至 $\Phi$ ，而在 $X^{\vee }$ 上导出的对偶映射则将 $\Phi ^{\vee }$ 一一映至 $\Phi ^{\vee }$ ）。
类似地，对任意 $\alpha ^{\vee }\in \Phi ^{\vee }$ ，馀根镜射 $u\mapsto u-\langle \alpha ,u\rangle \alpha ^{\vee }$ 导出根资料的自同构。

$\Phi$ 的元素称作该根资料的根， $\Phi ^{\vee }$ 的元素称为馀根。

若 $\Phi$ 不包含任意根的两倍，则称此根资料为既约的。

设 $X_{0}:=(\Phi ^{\vee })^{\perp }$ 。若 $X_{0}=\{0\}$ ，称此根资料为半单的，

从根资料到根系[编辑]

对于根资料 $(X,\Phi ,X^{\vee },\Phi ^{\vee })$ ，取 $Q$ 为 $\Phi$ 在 $X$ 中生成的子群，并设 $V:=Q\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {R}$ ；利用对偶性，同样可定义 $V^{\vee }$ 。可证明 $X_{0}\cap Q=\{0\}$ ， $X_{0}+Q$ 在 $X$ 中的指数为有限的；因此 $V^{\vee }$ 可视为 $V$ 的对偶空间。可证明 $(V,\Phi )$ 成为一个根系。