根資料

在數學的代數群領域中，根資料（原文為法文donnée radicielle）是一個連通、分裂、可簡約代數群的不變量。對於可簡約代數群，根資料是比根系更精細的不變量，若假設連通性，則它決定了代數群的結構（至多差一個同構）。根資料的定義首見於M. Demazure在SGA III中的闡述，於1970年出版。

定義[編輯]

根資料是一組資料 $(X,\Phi ,X^{\vee },\Phi ^{\vee })$ ，其中：

$X,X^{\vee }$ 是有限秩自由阿貝爾群，其間有一個配對 $\langle ,\rangle :X\times X^{\vee }\rightarrow \mathbf {Z}$ 使兩者互為對偶。
$\Phi$ 是 $X$ 的有限子集， $\Phi ^{\vee }$ 是 $X^{\vee }$ 的有限子集，並存在其間的雙射 $\alpha \mapsto \alpha ^{\vee }$ 。
對任意 $\alpha \in \Phi$ ，有 $\langle \alpha ,\alpha ^{\vee }\rangle =2$ 。
對任意 $\alpha \in \Phi$ ，根鏡射 $x\mapsto x-\langle x,\alpha ^{\vee }\rangle \alpha$ 導出根資料的自同構（換言之：它將 $\Phi$ 一一映至 $\Phi$ ，而在 $X^{\vee }$ 上導出的對偶映射則將 $\Phi ^{\vee }$ 一一映至 $\Phi ^{\vee }$ ）。
類似地，對任意 $\alpha ^{\vee }\in \Phi ^{\vee }$ ，餘根鏡射 $u\mapsto u-\langle \alpha ,u\rangle \alpha ^{\vee }$ 導出根資料的自同構。

$\Phi$ 的元素稱作該根資料的根， $\Phi ^{\vee }$ 的元素稱為餘根。

若 $\Phi$ 不包含任意根的兩倍，則稱此根資料為既約的。

設 $X_{0}:=(\Phi ^{\vee })^{\perp }$ 。若 $X_{0}=\{0\}$ ，稱此根資料為半單的，

從根資料到根系[編輯]

對於根資料 $(X,\Phi ,X^{\vee },\Phi ^{\vee })$ ，取 $Q$ 為 $\Phi$ 在 $X$ 中生成的子群，並設 $V:=Q\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {R}$ ；利用對偶性，同樣可定義 $V^{\vee }$ 。可證明 $X_{0}\cap Q=\{0\}$ ， $X_{0}+Q$ 在 $X$ 中的指數為有限的；因此 $V^{\vee }$ 可視為 $V$ 的對偶空間。可證明 $(V,\Phi )$ 成為一個根系。