正交变换

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線性代數中,正交變換線性變換的一種。對一個由空間投射到同一空間的線性轉換,如果轉換後的向量長度與轉換前的長度相同,則為正交變換[1]

其中在空間內,表示維度。

對於正交變換以及兩個向量之內積等於正交轉換後之向量之內積。

其中為向量長度,分別為之元素,正交變換不會影響轉換前後向量間的夾角和內積長度。

在矩陣表示形式上,如果為正交變換,則為正交矩陣,對於正交變換之正交矩陣,其每個列互為正交,令之矩陣,取兩個不相同的列 ()遵守下列關係。

性質[编辑]

1. 正交變換不會改變向量間的正交性,如果正交,則亦為正交。

根據畢氏定理,正交變換後的向量會符合下式:

因為正交變換屬於線性轉換:

正交變換前後向量的長度相同:

再根據畢氏定理,且和正交:

再根據正交變換的性質,正交變換前後向量的長度相同:

2. 如果皆為正交矩陣,則亦為正交矩陣。

令一正交變換為:

正交變換後長度不變:

3. 如果為正交矩陣,的反矩陣亦為正交矩陣。

令一正交變換為:

單位矩陣相乘為自己,且矩陣和反矩陣相乘為單位矩陣:

正交變換後長度不變:

4. 正交變換容易做反運算

令ㄧ正交矩陣相乘為一對角矩陣,其中上標表示Hermitain運算。

乘上自己的反矩陣可得一單為矩陣

可分解為

根據上式,將兩側乘上的反矩陣即可得知的反矩陣知公式。

計算的反矩陣比直接求反矩陣容易,只要相對角線之值做倒數即可。如果的每一行皆為單位向量,則:

5. 對於正交變換,如果可以做內積,做內積之值等於做內積之值。[2]

根據極化恆等式:

將上式代入

因為為線性轉換,轉換前做加減法和轉換後做加減法之值應相同:

正交變換前後向量的長度相同:

再根代入之據極化恆等式:

範例和應用[编辑]

正交變換的種類非常的廣,像是discrete Fourier transform、discrete cosine, sine, Hartley transforms、Walsh Transform, Haar Transform等都屬於正交變換。對矩陣做旋轉或是鏡射也屬於正交變換。這裡會舉出一些簡單的正交變換例子。

1. 對於以subspace 為基準做鏡射( in ),令為平行之向量,為正交之向量[3]

因為互為正交,可以根據畢氏定理做分解:

2. 這裡以DFT為例證明DFT矩陣為正交矩陣,對於點DFT,可得一個矩陣,且

為symmetric矩陣,令的每個列為:

令任意二列做內積:

上式可以化成pulse function,只有列和自己做內積才為,即:

3. 正交變換可以參數計算變得容易,令為正交矩陣的列,列彼此互相正交,而為對應之參數,即給定下式中的,參數之值可以很容易的計算出來。

如果要求出,則將上式與做內積:

因為在時,做內積為0,可得下式:

最後同除即可得到對應之參數:

4. 在訊號壓縮上,對於原始訊號:

假設進行壓縮,要壓縮成:

時,越大,越小

5. 在通訊應用上,會利用正交基來和訊號做調變,正交的特性會使通道間不會互相干擾。

参见[编辑]

参考文献[编辑]

3. Ding, J. J. (2017). Advanced Digital Signal Processing [Powerpoint slides] http://djj.ee.ntu.edu.tw/ADSP15.pdf

4. Chang, C.H. (2004). Linear Algebra [PDF slides] http://staff.csie.ncu.edu.tw/chia/Course/LinearAlgebra/sec5-3.pdf

5. (2007). [PDF slides] http://isites.harvard.edu/fs/docs/icb.topic138287.files/Lesson15_-_Orthogonal_Transformations_and_Orthogonal_Matrices_slides.pdf