正交變換

在線性代數中，正交轉換是線性轉換的一種。如果對於任意向量$\mathbf {u}$和$\mathbf {v}$其內積等於正交轉換後之向量$T({\displaystyle \mathbf {u} })$和$T({\displaystyle \mathbf {v} })$之內積，則稱之為正交變換。

$\langle {\mathbf {u} ,\mathbf {v} }\rangle =\langle {T(\mathbf {u} ),T(\mathbf {v} )}\rangle$

按照長度的定義，可知正交轉換後的向量長度與轉換前的長度相同。

$\|T(\mathbf {x} )\|=\|\mathbf {x} \|$

其中$\|\mathbf {x} \|$在空間$R^{n}$內，$n$表示維度。

$\langle {\mathbf {u} ,\mathbf {v} }\rangle =\langle {T(\mathbf {u} ),T(\mathbf {v} )}\rangle =\textstyle \sum _{n=0}^{N-1}u[n]v[n]\displaystyle$

其中$N$為向量長度，$u[n]$和$v[n]$分別為$\mathbf {u}$和$\mathbf {v}$之元素，正交變換不會影響轉換前後向量間的夾角和內積長度。

在矩陣表示形式上，如果$T(\mathbf {x} )=\mathbf {A} \mathbf {x}$為正交變換，則為$\mathbf {A}$正交矩陣，對於正交變換之正交矩陣$\mathbf {A}$，其每個列互為正交，令$\mathbf {A}$為$M\times N$之矩陣，取兩個不相同的列$\phi _{k}$和$\phi _{h}$ ($k\neq h$)遵守下列關係。

$\langle \phi _{k},\phi _{h}\rangle =0$

性質

1. 正交變換$T$不會改變向量間的正交性，如果$\mathbf {u}$和$\mathbf {v}$正交，則$T({\displaystyle \mathbf {u} })$和$T({\displaystyle \mathbf {v} })$亦為正交。

$Proof:$

根據畢氏定理，正交變換後的向量會符合下式：

$\|T(\mathbf {u} )+T(\mathbf {v} )\|^{2}=\|T(\mathbf {u} )\|^{2}+\|T(\mathbf {v} )\|^{2}$

因為正交變換屬於線性轉換：

$\|T(\mathbf {u} )+T(\mathbf {v} )\|^{2}=\|T(\mathbf {u} +\mathbf {v} )\|^{2}$

正交變換前後向量的長度相同：

$\|T(\mathbf {u} )+T(\mathbf {v} )\|^{2}=\|\mathbf {u} +\mathbf {v} \|^{2}$

再根據畢氏定理，且和正交：

$\|\mathbf {u} +\mathbf {v} \|^{2}=\|\mathbf {u} \|^{2}+\|\mathbf {v} \|^{2}$

再根據正交變換的性質，正交變換前後向量的長度相同：

$\|\mathbf {u} \|^{2}+\|\mathbf {v} \|^{2}=\|T(\mathbf {u} )\|^{2}+\|T(\mathbf {v} )\|^{2}$

2. 如果$\mathbf {A}$和$\mathbf {B}$皆為正交矩陣，則$\mathbf {AB}$亦為正交矩陣。

$Proof:$

令一正交變換為：

$T(\mathbf {x} )=\mathbf {ABx}$

正交變換後長度不變：

$\|T(\mathbf {x} )\|=\|\mathbf {ABx} \|=\|\mathbf {A(Bx)} \|=\|\mathbf {Bx} \|=\|\mathbf {x} \|$

3. 如果$\mathbf {A}$為正交矩陣，$\mathbf {A}$的反矩陣$\mathbf {A} ^{-1}$亦為正交矩陣。

$Proof:$

令一正交變換為：

$T(\mathbf {x} )=\mathbf {Ax}$

單位矩陣$\mathbf {I}$和$\mathbf {x}$相乘為$\mathbf {x}$自己，且矩陣和反矩陣相乘為單位矩陣：

$\mathbf {Ix} =\mathbf {AA^{-1}x} =\mathbf {x}$

正交變換後長度不變：

$\|\mathbf {AA^{-1}x} \|=\|\mathbf {A(A^{-1}x)} \|=\|\mathbf {x} \|$

4. 正交變換容易做反運算

$Proof:$

令ㄧ正交矩陣$\mathbf {A}$，$\mathbf {A}$和$\mathbf {A} ^{H}$相乘為一對角矩陣$\mathbf {D}$，其中上標$H$表示Hermitain運算。

$\mathbf {A} \mathbf {A} ^{H}=\mathbf {D}$

將$\mathbf {D}$乘上自己的反矩陣$\mathbf {D} ^{-1}$可得一單為矩陣$\mathbf {I}$。

$\mathbf {D} \mathbf {D} ^{-1}=\mathbf {I}$

又$\mathbf {D}$可分解為$\mathbf {A}$和$\mathbf {A} ^{H}$

$\mathbf {A} \mathbf {A} ^{H}\mathbf {D} ^{-1}=\mathbf {I}$

根據上式，將兩側乘上$\mathbf {A}$的反矩陣$\mathbf {A} ^{-1}$即可得知的反矩陣知公式。

$\mathbf {A} ^{-1}=\mathbf {A} ^{H}\mathbf {D} ^{-1}$

計算$\mathbf {D}$的反矩陣$\mathbf {D} ^{-1}$比直接求反矩陣容易，只要相對角線之值做倒數即可。如果$\mathbf {A} ^{T}$的每一行皆為單位向量，則：

$\mathbf {A} ^{-1}=\mathbf {A} ^{H}$

5. 對於正交變換$T$，如果$\mathbf {u}$和$\mathbf {v}$可以做內積，$T({\displaystyle \mathbf {u} })$和$T({\displaystyle \mathbf {v} })$做內積之值等於$\mathbf {u}$和$\mathbf {v}$做內積之值。

$Proof:$

根據極化恆等式：

$\langle {\mathbf {x} ,\mathbf {y} }\rangle ={\frac {1}{4}}(\|\mathbf {x} +\mathbf {y} \|^{2}-\|\mathbf {x} -\mathbf {y} \|^{2})$

將上式代入$T({\displaystyle \mathbf {u} })$和$T({\displaystyle \mathbf {v} })$：

$\langle {T(\mathbf {u} ),T(\mathbf {v} )}\rangle ={\frac {1}{4}}(\|T(\mathbf {u} )+T(\mathbf {v} )\|^{2}-\|T(\mathbf {u} )-T(\mathbf {v} )\|^{2})$

因為$T$為線性轉換，轉換前做加減法和轉換後做加減法之值應相同：

$\langle {T(\mathbf {u} ),T(\mathbf {v} )}\rangle ={\frac {1}{4}}(\|T(\mathbf {u} +\mathbf {v} )\|^{2}-\|T(\mathbf {u} -\mathbf {v} )\|^{2})$

正交變換前後向量的長度相同：

$\langle {T(\mathbf {u} ),T(\mathbf {v} )}\rangle ={\frac {1}{4}}(\|\mathbf {u} +\mathbf {v} \|^{2}-\|\mathbf {u} -\mathbf {v} \|^{2})$

再根代入$\mathbf {u}$和$\mathbf {v}$之據極化恆等式：

$\langle {T(\mathbf {u} ),T(\mathbf {v} )}\rangle =\langle {\mathbf {u} ,\mathbf {v} }\rangle$

範例和應用

正交變換的種類非常的廣，像是discrete Fourier transform、discrete cosine, sine, Hartley transforms、Walsh Transform, Haar Transform等都屬於正交變換。對矩陣做旋轉或是鏡射也屬於正交變換。這裡會舉出一些簡單的正交變換例子。

1. 對於$reflect_{V}()$以subspace $V$為基準做鏡射($V$ in $R^{n}$)，令$\mathbf {x} ^{\shortparallel }$為平行之向量，$\mathbf {x} ^{\perp }$為正交之向量：

$\|reflect_{V}(\mathbf {x} )\|^{2}=\|\mathbf {x} ^{\shortparallel }-\mathbf {x} ^{\perp }\|^{2}$

因為$\mathbf {x} ^{\shortparallel }$和$\mathbf {x} ^{\perp }$互為正交，可以根據畢氏定理做分解：

$\|reflect_{V}(\mathbf {x} )\|^{2}=\|\mathbf {x} ^{\shortparallel }\|^{2}+\|-\mathbf {x} ^{\perp }\|^{2}=\|\mathbf {x} ^{\shortparallel }\|^{2}+\|\mathbf {x} ^{\perp }\|^{2}=\|\mathbf {x} \|^{2}$

2. 這裡以DFT為例證明DFT矩陣為正交矩陣，對於$N$點DFT，可得一個$N\times N$矩陣，且$\omega ^{n}=e^{j2\pi n/N}$：

$\mathbf {W} ={\frac {1}{\sqrt {N}}}{\begin{bmatrix}1&1&1&\cdots &1\\1&\omega &\omega ^{2}&\cdots &\omega ^{N-1}\\1&\omega ^{2}&\omega ^{4}&\cdots &\omega ^{2(N-1)}\\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\1&\omega ^{N-1}&\omega ^{2(N-1)}&\cdots &\omega ^{(N-1)(N-1)}\end{bmatrix}}$

$\mathbf {W}$為symmetric矩陣，令的$\mathbf {W}$每個列為：

$\mathbf {w} _{n}={\begin{bmatrix}1&\omega ^{n}&\omega ^{2}n&\cdots &\omega ^{(N-1)n}\end{bmatrix}}$

令任意二列做內積：

$\langle {\mathbf {w} _{m},\mathbf {w} _{n}}\rangle =\mathbf {w} _{m}\centerdot \mathbf {w} _{n}^{H}={\frac {1}{N}}\textstyle \sum _{k=0}^{N-1}e^{j2\pi km/N}e^{-j2\pi kn/N}\displaystyle ={\frac {1}{N}}\textstyle \sum _{k=0}^{N-1}e^{j(2\pi km/N)(m-n)}\displaystyle$

上式可以化成pulse function，只有列和自己做內積才為$1$，即：

$\langle {\mathbf {w} _{m},\mathbf {w} _{n}}\rangle ={\begin{cases}1,&{\text{if }}m=n\\0,&{\text{if }}m\neq n\end{cases}}$

3. 正交變換可以參數計算變得容易，令$\phi _{n}$為正交矩陣的列，列彼此互相正交，$c_{n}$而為$\phi _{n}$對應之參數，即給定下式中的$y$和$\phi _{n}$，參數$c_{n}$之值可以很容易的計算出來。

$y=\textstyle \sum _{n=0}^{N-1}c_{n}\phi _{n}\displaystyle$

如果要求出$c_{m}$，則將上式與$\phi _{m}$做內積：

$\langle y,\phi _{m}\rangle =\textstyle \sum _{n=0}^{N-1}c_{n}\langle \phi _{n},\phi _{m}\rangle \displaystyle$

因為在$n\neq m$時，$\phi _{n}$和$\phi _{m}$做內積為0，可得下式：

$\langle y,\phi _{m}\rangle =c_{m}\langle \phi _{m},\phi _{m}\rangle$

最後同除$\langle \phi _{m},\phi _{m}\rangle$即可得到對應之參數：

$c_{m}={\frac {\langle y,\phi _{m}\rangle }{\langle \phi _{m},\phi _{m}\rangle }}$

4. 在訊號壓縮上，對於原始訊號：

$y=\textstyle \sum _{n=0}^{N-1}c_{n}\phi _{n}\displaystyle$

假設進行壓縮，要壓縮成：

${\hat {y}}=\textstyle \sum _{n=0}^{K-1}c_{n}\phi _{n}\displaystyle$

當$K\leq N$時，$K$越大，$|y-{\hat {y}}|$越小

5. 在通訊應用上，會利用正交基來和訊號做調變，正交的特性會使通道間不會互相干擾。

參見

• 瑕旋轉
• 內積空間
• 線性變換
• 正交矩陣
• 酉變換

參考文獻

3. Ding, J. J. (2017). Advanced Digital Signal Processing [Powerpoint slides] http://djj.ee.ntu.edu.tw/ADSP15.pdf （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）

4. Chang, C.H. (2004). Linear Algebra [PDF slides] http://staff.csie.ncu.edu.tw/chia/Course/LinearAlgebra/sec5-3.pdf （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）

5. (2007). [PDF slides] http://isites.harvard.edu/fs/docs/icb.topic138287.files/Lesson15_-_Orthogonal_Transformations_and_Orthogonal_Matrices_slides.pdf