等角投影

维基百科,自由的百科全书
跳转至: 导航搜索
一些3D圖形的等角投影圖
黑色的是3D圖形的實際長度
紅色的是平面上等角投影出的長度

等角投影(Isometric projection) 是繪製工程圖時,一種在二維的平面上,呈現三維物體的方法 。屬於軸測投影的一種,其中三條座標軸比例尺相同,並且任意兩條坐標軸之間的角度都是120度。

在一定範圍內,投影面上任何點上兩個微分線段組成的角度投影前後保持不變的一類投影。任何點上二微分線段組成的角度投影前後保持不變的一類投影。是角度和形狀保持正確的投影,也稱正形投影。

概述[编辑]

取得等角視角的旋轉步驟
等角格紙

各座標軸之間角度相等(120°)的視角,就是等角的觀點。以正方體為例,先從一個面看過去,然後以垂直方向為轉軸旋轉視角±45°,接著以水平方向為轉軸旋轉視角約±35.264° (準確來說是 arcsin 13)。值得注意的是,平面上正方體(右圖左上)的邊界恰好是一個正六角形:所有黑線的長度相同,而且正方體每一面的面積相同。等角格紙可以在不需要計算的情況下幫忙達到目標。

等角的觀點也可以想成是:從一個正方體空間的頂點,看向對面的頂點。x軸向右下延伸、y軸向左下延伸、z軸向上延伸。沿個軸的線彼此成120°。    

數學[编辑]

有8種可能的視角符合等角,取決於觀察者的卦限。以第一掛限為例,三維上的點ax,y,z等角投影到二維上成點 bx,y,數學上可以寫成旋轉矩陣


\begin{bmatrix}
   \mathbf{c}_x \\
   \mathbf{c}_y \\
   \mathbf{c}_z \\
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
   1 & 0 & 0  \\
   0 & {\cos\alpha} & {\sin\alpha}  \\
   0 & { - \sin\alpha} & {\cos\alpha}  \\
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
   {\cos\beta } & 0 & { - \sin\beta }  \\
   0 & 1 & 0  \\
   {\sin\beta } & 0 & {\cos\beta }  \\
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
   \mathbf{a}_x \\
   \mathbf{a}_y \\
   \mathbf{a}_z \\
\end{bmatrix}=\frac{1}{\sqrt{6}}\begin{bmatrix}
   \sqrt{3} & 0 & -\sqrt{3}  \\
   1 & 2 & 1  \\
   \sqrt{2} & -\sqrt{2} & \sqrt{2}  \\
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
   \mathbf{a}_x \\
   \mathbf{a}_y \\
   \mathbf{a}_z \\
\end{bmatrix}

其中 α = arcsin(13) ≈ 35.264° 且 β = 45°。

接著正投影xy平面:


\begin{bmatrix}
   \mathbf{b}_x \\
   \mathbf{b}_y \\
   0 \\
\end{bmatrix}=
\begin{bmatrix}
   1 & 0 & 0  \\
   0 & 1 & 0  \\
   0 & 0 & 0  \\
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
   \mathbf{c}_x \\
   \mathbf{c}_y \\
   \mathbf{c}_z \\
\end{bmatrix}

另外7種符合等角的視角,可以藉由旋轉反方向或鏡像來達成。[1]

歷史與限制[编辑]

研磨機 (1822), 等角投影
三國演義中的等角投影

等角的概念存在了數個世紀,最早由William Farish(1759–1837)在1822年形式化。[2][3] 十九世紀中期,等角投影成為工程師重要的工具。不久之後等角投影和軸測投影被加入歐美國家的建築學課程中。[4] 然而,軸測投影發源於中國。在它對中國藝術的功能,就如同透視投影之於西洋藝術。軸測投影和相關的繪圖法則對電腦圖學 有所幫助。[5]

難以辨識高度的情況,無法從局部看出兩球的高度差
潘洛斯階梯 畫著一座循環的階梯

如同各種平行投影的方法,等角投影所繪製的物體不會因為遠近而改變大小。雖然建築製圖等時候,需要直接測量長度,但卻會造成視覺上失真。不像透視投影呈現眼睛和照相機的結果。等角投影有時會造成高度難以辨識(如右左下圖)。這被用來創造不可能出現的圖形,如潘洛斯階梯

在電玩和像素畫的用途[编辑]

等角投影提供有限的3D效果,在1980~90年代,因為當時的微電腦能夠負荷,而被用在早期的電玩中。

這種風格也被用在精靈像素畫,用來呈現復古遊戲的風格。

參見[编辑]

注釋與參考[编辑]

  1. ^ Ingrid Carlbom, Joseph Paciorek , Dan Lim. Planar Geometric Projections and Viewing Transformations. ACM Computing Surveys (ACM). December 1978, 10 (4): 465–502. doi:10.1145/356744.356750. 
  2. ^ Barclay G. Jones (1986). Protecting historic architecture and museum collections from natural disasters. University of Michigan. ISBN 0-409-90035-4. p.243.
  3. ^ Charles Edmund Moorhouse (1974). Visual messages: graphic communication for senior students.
  4. ^ J. Krikke (1996). "A Chinese perspective for cyberspace?". In: International Institute for Asian Studies Newsletter, 9, Summer 1996.
  5. ^ Jan Krikke (2000). "Axonometry: a matter of perspective". In: Computer Graphics and Applications, IEEE Jul/Aug 2000. Vol 20 (4), pp. 7–11.

外部連結[编辑]