# 輻射轉移

## 輻射場

${\displaystyle \operatorname {d} \!E_{\nu }=I_{\nu }(\mathbf {r} ,{\hat {\mathbf {n} }},t)\cos {\theta }\,{\operatorname {d} \!a}\,{\operatorname {d} \!\Omega }\,{\operatorname {d} \!t}\,{\operatorname {d} \!\nu }}$

## 輻射轉移方程式

${\displaystyle {\operatorname {d} \!{I_{\nu }} \over \operatorname {d} \!s}=0}$

• 因為吸收absorption）而失去能量
• 因為發射emission）而獲得能量
• 因為散射scattering）而重新分配能量

${\displaystyle {\operatorname {d} \!{I_{\nu }} \over \operatorname {d} \!s}=j_{\nu }-\alpha _{\nu }I_{\nu }}$

${\displaystyle {\operatorname {d} \!{I_{\nu }} \over \operatorname {d} \!\tau _{\nu }}=S_{\nu }-I_{\nu }}$

${\displaystyle \left[{\frac {1}{c}}{\frac {\partial }{\partial t}}+\left({\hat {\mathbf {n} }}\cdot \nabla \right)\right]I_{\nu }=j_{\nu }-(\alpha _{\nu ,{\rm {a}}}+\alpha _{\nu ,{\rm {s}}})I_{\nu }+{\frac {\alpha _{\nu ,{\rm {s}}}}{4\pi }}\int _{\Omega }I_{\nu }{\operatorname {d} \!\Omega }}$

## 輻射轉移方程式的解

${\displaystyle I_{\nu }(s)=I_{\nu }(s_{0})\,e^{-\tau (s_{0},s)}+\int _{s_{0}}^{s}j_{\nu }(s')\,e^{-\tau (s',s)}{\operatorname {d} \!s'}}$

${\displaystyle \tau (s_{1},s_{2})\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \int _{s_{1}}^{s_{2}}\alpha _{\nu }(s)\,ds}$

### 局部熱力平衡

${\displaystyle {\frac {j_{\nu }}{\alpha _{\nu }}}=B_{\nu }(T)}$

${\displaystyle I_{\nu }(s)=I_{\nu }(s_{0})e^{-\tau (s_{0},s)}+\int _{s_{0}}^{s}B_{\nu }(T(s'))\alpha _{\nu }(s')e^{-\tau (s',s)}\,{\operatorname {d} \!s'}}$

### 愛丁頓近似

${\displaystyle {\operatorname {d} \!s}={\frac {\operatorname {d} \!z}{\cos {\theta }}}={\frac {\operatorname {d} \!z}{\mu }}}$

${\displaystyle \mu {\frac {\partial {I_{\nu }}}{\partial z}}=j_{\nu }-\alpha _{\nu }I_{\nu }}$

${\displaystyle M_{j}\equiv {\frac {1}{2}}\int _{-1}^{+1}\mu ^{j}I(\mu ){\operatorname {d} \!\mu }}$

${\displaystyle \int A(\cos {\theta }){\operatorname {d} \!\Omega }=\int _{\phi =0}^{2\pi }\int _{\pi =0}^{\pi }{A(\cos {\theta })\sin {\theta }\,{\operatorname {d} \!\theta }\,{\operatorname {d} \!\phi }}=2\pi \int _{-1}^{+1}{A(\mu )\,{\operatorname {d} \!\mu }}}$

${\displaystyle I}$ 關於 ${\displaystyle \mu }$ 的前幾階動差是

${\displaystyle J={\frac {1}{2}}\int _{-1}^{1}{I(\mu ){\operatorname {d} \!\mu }}}$
${\displaystyle H={\frac {1}{2}}\int _{-1}^{1}{\mu I(\mu ){\operatorname {d} \!\mu }}}$
${\displaystyle K={\frac {1}{2}}\int _{-1}^{1}{\mu ^{2}I_{\nu }(\mu ){\operatorname {d} \!\mu }}}$

${\displaystyle I(z,\mu )=a(z)+b(z)\mu }$

${\displaystyle J=a(z),\quad \,H={\frac {b(z)}{3}},\quad K={\frac {a(z)}{3}}}$

${\displaystyle K={\frac {J}{3}}}$

## 註腳

1. ^ 對於輻射相關的物理量而言，「譜」字（spectral）通常意味著該物理量是關於波長頻率的導數；如果是對頻率微分，記號通常會加一個下標 ${\displaystyle \nu }$；如果是對波長微分，記號通常會加一個下標 ${\displaystyle \lambda }$
2. ^ MKS制單位為W·m−2·sr−1·Hz−1
3. ^ MKS制單位為m−1，又常被稱為不透明度opacity）。
4. ^ 為了方便起見，以下輻射相關物理量中的下標 ${\displaystyle \nu }$ 被省略了。

## 參考資料

1. ^ Choudhuri, Arnab Rai. Astrophysics for Physicists (PDF). Cambridge: Cambridge University Press. 2010: 24 [2024-01-09]. ISBN 978-0-511-67742-7. （原始内容存档 (PDF)于2024-01-09） （英语）.
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3. ^ 放射輸送. 天文学辞典. 日本天文学会. （原始内容存档于2019-06-01） （日语）.
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