辐射转移

辐射转移（英语：radiative transfer）是以电磁辐射形式进行能量转移的物理现象。经由介质传播的辐射会受到吸收、发射和散射的影响。辐射转移方程式就是以数学方式描述这些交互作用。描述辐射转移现象的方程式称为辐射转移方程式（radiative transfer equation，RTE），它被广泛应用在光学、天文物理学、大气科学和遥测上。辐射转移方程式在简单状况下存在解析解，但在实际状况下常包含复杂的多重散射效应，此时必须使用数值方式求解。

辐射场

辐射转移现象所描述的对象为辐射场（radiation field），而辐射场通常表达成谱辐射率（spectral radiance）关于位置 $\mathbf {r}$、方向 ${\hat {\mathbf {n} }}$ 和时间 $t$ 的的函数，写成 $I_{\nu }(\mathbf {r} ,{\hat {\mathbf {n} }},t)$。

谱辐射率 $I_{\nu }$ 的定义如下。考虑一个位于 $\mathbf {r}$ 的单位面积 $\operatorname {d} \!a$，如果在单位时间 $\operatorname {d} \!t$ 内，有辐射能量 $\operatorname {d} \!E_{\nu }$ 从单位立体角 $\operatorname {d} \!\Omega$ 流经单位面积 $\operatorname {d} \!a$，且频率介于 $\nu$ 和 $\nu +{\operatorname {d} \!\nu }$ 这个区间之内（辐射的极化在这里被忽略），则

$\operatorname {d} \!E_{\nu }=I_{\nu }(\mathbf {r} ,{\hat {\mathbf {n} }},t)\cos {\theta }\,{\operatorname {d} \!a}\,{\operatorname {d} \!\Omega }\,{\operatorname {d} \!t}\,{\operatorname {d} \!\nu }$，

其中 $\theta$ 是辐射的单位向量 ${\hat {\mathbf {n} }}$ 和单位面积法向的夹角。谱辐射率的单位是以能量/(时间⋅面积⋅立体角⋅频率)表示，在MKS单位制中，就是W·m^-2·sr^-1·Hz^-1。

当一个区域内所有的点在所有方向上某一时刻的 $I_{\nu }(\mathbf {r} ,{\hat {\mathbf {n} }},t)$ 都被指定，就构成一个辐射场。另外，谱辐射率为辐射度量学名词，在传统天文学领域常常称为比强度（specific intensity）。

辐射转移方程式

辐射转移方程式是谱辐射率的微分方程式。先考虑一维的情形，令 $s$ 是沿著辐射路径传播的距离；假如辐射通过真空，则它的谱辐射率不随著辐射传递而改变，于是有

${\operatorname {d} \!{I_{\nu }} \over \operatorname {d} \!s}=0$。

现在考虑辐射通介质，则有三种交互作用会导致辐射转移：

• 因为吸收（absorption）而失去能量
• 因为发射（emission）而获得能量
• 因为散射（scattering）而重新分配能量

所以辐射转移方程式可写为

${\operatorname {d} \!{I_{\nu }} \over \operatorname {d} \!s}=j_{\nu }-\alpha _{\nu }I_{\nu }$。

此处 $j_{\nu }$ 是物质的谱发射系数，$\alpha _{\nu }$ 是物质的谱衰减系数，而且可写成 $\alpha _{\nu }=\alpha _{\nu ,{\rm {a}}}+\alpha _{\nu ,{\rm {s}}}$，下标里的 a 与 s 分别表示与吸收和散射的成分。在天文物理学中，常引入光深度 $\tau$ 的概念；对上式使用 $\operatorname {d} \!\tau =\alpha \operatorname {d} \!s$ 进行变数变换，可得到

${\operatorname {d} \!{I_{\nu }} \over \operatorname {d} \!\tau _{\nu }}=S_{\nu }-I_{\nu }$，

其中 $S_{\nu }\equiv j_{\nu }/\alpha _{\nu }$ 是源函数。当所有频率 $\nu$ 的源函数都等于谱辐射率的时候，可得到 ${\operatorname {d} \!I}/{\operatorname {d} \!s}=0$，仿佛辐射是通过真空一样，这就是辐射平衡（radiative equilibrium）条件。

如果考虑三维情形，辐射转移方程式可写为

$\left[{\frac {1}{c}}{\frac {\partial }{\partial t}}+\left({\hat {\mathbf {n} }}\cdot \nabla \right)\right]I_{\nu }=j_{\nu }-(\alpha _{\nu ,{\rm {a}}}+\alpha _{\nu ,{\rm {s}}})I_{\nu }+{\frac {\alpha _{\nu ,{\rm {s}}}}{4\pi }}\int _{\Omega }I_{\nu }{\operatorname {d} \!\Omega }$，

其中 $c$是光速。等式左边的微分算子用法向导数取代了对 $s$ 的导数，还纳入了 $I_{\nu }$ 的时间导数；等式右边第三项考量的是从四面八方散射而来的辐射，故取 $I_{\nu }$ 的角度平均。

辐射转移方程式的解

求解辐射转移方程式是非常耗力的工作。不过可以依据各种形式的吸收和发射系数，进行适当简化。譬如说，如果将吸收和散射忽略，只考虑物质的发射，则一维辐射转移方程式的通解可以写成：

$I_{\nu }(s)=I_{\nu }(s_{0})\,e^{-\tau (s_{0},s)}+\int _{s_{0}}^{s}j_{\nu }(s')\,e^{-\tau (s',s)}{\operatorname {d} \!s'}$，

这里的 $\tau (s_{1},s_{2})$ 是两个位置 $s_{1}$ 和 $s_{2}$ 中间介质的光深度：

$\tau (s_{1},s_{2})\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \int _{s_{1}}^{s_{2}}\alpha _{\nu }(s)\,ds$。

局部热力平衡

一个特别有用的辐射转移方程式简化是局部热力平衡（local thermodynamic equilibrium，LTE）状态。这个状态中，介质包含许多“局部”达到热平衡的粒子，因此有一个可定义的温度。但辐射场并非处在平衡状态，并且是由大量存在的粒子驱动。在局部热力平衡的介质中，发射系数和吸收系数只是温度和密度函数，而且两者的关系式为

${\frac {j_{\nu }}{\alpha _{\nu }}}=B_{\nu }(T)$，

其中 $B_{\nu }(T)$ 是温度 $T$ 时的黑体辐射的谱辐射率（即普朗克黑体辐射定律）。此时，辐射转移方程式的解为

$I_{\nu }(s)=I_{\nu }(s_{0})e^{-\tau (s_{0},s)}+\int _{s_{0}}^{s}B_{\nu }(T(s'))\alpha _{\nu }(s')e^{-\tau (s',s)}\,{\operatorname {d} \!s'}$。

了解介质的温度和密度剖面曲线之后，就足以计算辐射转移方程式的解。

爱丁顿近似

爱丁顿近似（Eddington approximation）是辐射转移方程式的一种近似解，适用于气象学中的平面平行大气（plane-parallel atmosphere）模型及天文学中的灰色大气模型。在这些模型里，大气的各种热力性质呈现层状（slab-like）分布，换句话说，它们只会在垂直于层状大气的方向上（定义为 $z$ 轴）发生变化，而不会在平行方向上出现变化。辐射路径 $s$ 上的变化量与 $z$ 轴上的变化量的关系为

${\operatorname {d} \!s}={\frac {\operatorname {d} \!z}{\cos {\theta }}}={\frac {\operatorname {d} \!z}{\mu }}$ 。

我们稍后会解说定义 $\mu =\cos \theta$ 的作用。由于考虑的是平面平行大气，所以我们预期谱辐射率也只是 $z$ 和 $\mu$ 的线性函数。使用变数变换 ${\operatorname {d} \!s}={\operatorname {d} \!z}/\mu$ ，代入一维辐射转移方程式，则有

$\mu {\frac {\partial {I_{\nu }}}{\partial z}}=j_{\nu }-\alpha _{\nu }I_{\nu }$

另一方面，我们定义谱辐射率 $I_{\nu }$ 关于 $\mu$ 的第 $j$ 阶动差：

$M_{j}\equiv {\frac {1}{2}}\int _{-1}^{+1}\mu ^{j}I(\mu ){\operatorname {d} \!\mu }$，

之所以引入动差的概念，是因为在平面平行大气中，有许多辐射相关的物理量是 $\mu =\cos \theta$ 的函数，只要使用变数变换 ${\operatorname {d} \!\mu }=-\sin {\theta }\;{\operatorname {d} \!\theta }$ ，就可以在角度积分中简化算式。具体来说，假设 $A(\cos {\theta })$ 是任意 $\mu =\cos \theta$ 的函数，则 $A(\cos {\theta })$ 对于所有方向的立体角积分为

$\int A(\cos {\theta }){\operatorname {d} \!\Omega }=\int _{\phi =0}^{2\pi }\int _{\pi =0}^{\pi }{A(\cos {\theta })\sin {\theta }\,{\operatorname {d} \!\theta }\,{\operatorname {d} \!\phi }}=2\pi \int _{-1}^{+1}{A(\mu )\,{\operatorname {d} \!\mu }}$。

$I$ 关于 $\mu$ 的前几阶动差是

$J={\frac {1}{2}}\int _{-1}^{1}{I(\mu ){\operatorname {d} \!\mu }}$，

$H={\frac {1}{2}}\int _{-1}^{1}{\mu I(\mu ){\operatorname {d} \!\mu }}$，

$K={\frac {1}{2}}\int _{-1}^{1}{\mu ^{2}I_{\nu }(\mu ){\operatorname {d} \!\mu }}$。

此处 $J$ 是辐射强度的角度平均（angle-averaged intensity），它恰好与能量密度 $U$ 成正比；$H$ 是爱丁顿通量（Eddington flux），与辐射通量 $F$ 成正比；$K$ 也与辐射压 $P$ 成正比。

所谓的爱丁顿近似就是将平面平行大气中的辐射场视为“近似于各向同性”、但是有关于 $\mu =\cos {\theta }$ 的一阶异向性，简单来说，就是假定 $I$ 关于 $\mu$ 的泰勒级数只保留到一次项，于是 $I$ 成为 $\mu$ 线性函数：

$I(z,\mu )=a(z)+b(z)\mu$。

将这个函数代入上述动差的公式，可以得到

$J=a(z),\quad \,H={\frac {b(z)}{3}},\quad K={\frac {a(z)}{3}}$。

于是得到爱丁顿近似的重要结果：

$K={\frac {J}{3}}$。

这等价于各项同性辐射场的重要条件 $P=U/3$，不过差别在于爱丁顿近似适用于稍微具有异向性的辐射场。爱丁顿近似是由天文学家亚瑟·爱丁顿在研究恒星大气时所提出。

爱丁顿近似与双流近似不同。双流近似是假设空间分为两块区域，辐射在其中一边固定以某方向传播，在另一边固定以另一方向传播。

参见

• 吸收 (光学)
• 原子谱线
• 比尔－朗伯定律
• 发射光谱
• 大气辐射转移模型
• 谱辐射率（辐射比强度）
• 辐射率
• 希沃特积分

延伸阅读

• Chandrasekhar, Subrahmanyan. Radiative Transfer. New York: Dover. 1960. ISBN 978-0-486-60590-6. 
• Lenoble, Jacqueline. Radiative Transfer in Scattering and Absorbing Atmospheres: Standard Computational Procedures. A. Deepak. 1986. ISBN 978-0937194058. 
• Grant William, Petty. A First Course in Atmospheric Radiation 2nd edition, illustrated. Madison: Sundog. 2006 [2004]. ISBN 9780972903318. 
• Mihalas, Dimitri; Weibel-Mihalas, Barbara. Foundations of Radiation Hydrodynamics. Oxford University Press. 1984. ISBN 0-486-40925-2. 
• Thomas, Gary. E.; Stamnes, Knut. Radiative Transfer in the Atmosphere and Ocean. Cambridge: Cambridge University Press. 1999 [2024-01-09]. ISBN 0-521-40124-0. （原始内容存档于2024-01-09） （英语）. 
• McLinden, Chris. Radiative Transfer. 1999-07-22. （原始内容存档于2022-01-13） （英语）.