适应过程

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适应过程随机过程研究中常见的概念,表示不能“预见未来”的随机过程。正式的数学解释是,一个随机过程是适应于某个参考族的,当且仅当在任意的特定时刻,随机过程都是可测的。适应过程是随机过程理论中很多重要概念的基础。比如说能够定义伊藤积分的随机过程就需要是适应过程。

定义[编辑]

设有

则随机过程\left( X_t \right)_{t\in T}是适应过程(适应于\mathbb{F}的随机过程)当且仅当对任意的时刻t \in T映射X_t: \Omega \to S都是(\mathcal{F}_t,  \mathcal{A} )-可测的随机变量[1]:37[2]:97

适应过程的定义说明,如果一个过程适应于某个参考族\mathbb{F} = \{ \mathcal{F}_{t} | t \in T \},那么在任意一个特定的时刻,我们掌握的信息都包括了这个过程。也就是说这个过程在任意时刻的结果必然在该时刻可知。但一般来说,适应过程在任意时刻的结果并不能提前预知。如果一个(离散的)随机过程在时刻t=n的结果能够在t=n-1的时刻已知,那么这个过程被称为在参考族\mathbb{F}可预测。可预测的随机过程必然适应于参考族,反之则不然。

例子[编辑]

设状态空间(S, \mathcal{A})为实数及其波莱尔σ-代数(\mathbb{R}, \mathcal{B}(\mathbb{R}))。设指标集为连续的:T =  [0, \infty). 给定一个随机过程X = \left( X_t \right)_{t\in T},如果考虑过程X产生的自然参考族 \tilde{\mathcal{F}}^X  = \{ \tilde{\mathcal{F}}_{t}^X | t \in T \}

\tilde{\mathcal{F}}_{t}^X = \sigma \left( X_s \, ; \, \, 0 \leqslant s \leqslant t \right) = \sigma  \left(\left\{ X_s^{(-1)}(H) \, | \, 0 \leqslant s \leqslant t , \, \, H \in \mathcal{B}(\mathbb{R}) \right\}\right)

那么X当然是适应于 \tilde{\mathcal{F}}^X的过程,因为在每个时刻,X都是\tilde{\mathcal{F}}_{t}^X-可测的随机变量。自然参考族也是能使得X为适应变量的“最小”参考族。X适应于某个参考族 \mathcal{F}^r  = \{ \mathcal{F}_{t} | t \in T \},当且仅当在任何时刻t \in T\tilde{\mathcal{F}}_{t}^X \subseteq \mathcal{F}_{t}.[3]:98

X = \left( X_n \right)_{n\in \mathbb{N}}是某彩票每期的开奖结果,那么X是一个适应随机过程,但不可能是一个可预测过程

参考来源[编辑]

  1. ^ (英文)Peter Mörters, Yuval Peres. Brownian Motion. Cambridge University Press Cambridge Series in Statistical and Probabilistic Mathematics. 2010. ISBN 9780521760188. 
  2. ^ (英文)Karatzas, Ioannis; Shreve, Steven. Brownian Motion and Stochastic Calculus 2nd. Springer. 1991. ISBN 0-387-97655-8. 
  3. ^ (英文)Pascucci, Andrea. PDE and Martingale Methods in Option Pricing. Berlin: Springer. 2011. ISBN 978-8847017801.