阶梯形矩阵

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线性代数中,一個矩阵如果符合下列條件的話,我們稱之為行阶梯形矩阵'(Row Echelon Form):

  • 所有非零行(矩阵的行至少有一个非零元素)在所有全零行的上面。即全零行都在矩阵的底部。
  • 非零行的首项系数(leading coefficient),也称作主元,即最左边的首个非零元素,严格地比上面行的首项系数更靠右(某些版本會要求非零行的首项系数必須是1[1])。
  • 首项系数所在列,在该首项系数下面的元素都是零 (前两条的推论).

这个3×4矩阵是行阶梯形矩阵:

有時候,增廣矩陣右邊的直線也會省略。

化简后的行阶梯形矩阵[编辑]

化简后的行阶梯形矩阵(reduced row echelon form), 也称作行规范形矩阵(row canonical form),如果满足额外的条件:

  • 每个首项系数是1,且是其所在列的唯一的非零元素。例如:


注意,这并不意味着化简后的行阶梯形矩阵的左部总是单位阵. 例如,如下的矩阵是化简后的行阶梯形矩阵:

因为第3列并不包含任何行的首项系数.

矩阵变换到列阶梯形[编辑]

通过有限步的行初等变换, 任何矩阵可以变换为列阶梯形。由于行初等变换保持了矩阵的行空间, 因此列阶梯形矩阵的列空间与变换前的原矩阵的列空间相同。

列阶梯形的结果并不是唯一的。例如,列阶梯形乘以一个标量系数仍然是列阶梯形。但是,可以证明一个矩阵的化简后的列阶梯形是唯一的。

线性方程组[编辑]

一个线性方程组列阶梯形,如果其增广矩阵是列阶梯形. 类似的,一个线性方程组是简化后的列阶梯形或'规范形,如果其增广矩阵是化简后的列阶梯形.

一些示例[编辑]

定义:

例子:

错误示例:

注:

·矩阵1.第二列的第一非零项1的下方的列项不全为零(有非零项4),见定义第二条,所以不是阶梯型矩阵;

·矩阵2.全为零的行应该在非全为零行的下方,见定义第三条,所以不是阶梯型矩阵;

·矩阵3.k+1行比k行的第一个非零项之前的0少,见定义第三条,所以不是阶梯型矩阵。


简化后的行阶梯形矩阵的例子:

参见[编辑]

参考来源[编辑]

  1. ^ Leon, Steve, Linear Algebra with Applications 8th, Pearson: 13, 2009, ISBN 978-0136009290 
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