马丢函数

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MathieuCE 3D
MathieuSE 3D

马丟函数(法语:Équation de Mathieu)是1868年法國數學家以米里迂·拉·馬去法语Émile Mathieu因研究数学物理所推得的特殊函數,下列马丟方程的解析解:

马丟方程有两个线性无关的解:

奇数解

MathieuCE(n, q, x),或记为,

偶数解

MathieuSE(n, q, x).或记为 称为基本解[1]

周期性[编辑]

马丟函数 MathieuC(a,q,z) 或 MathieuS(a,q,z) 只有一个是周期为 的周期解,另一个不是。

马丟函数 MathieuC(a,q,z) 和 MathieuS(a,q,z) 两者都有是周期为(n≥2)的周期函数。 [1]

正交性[编辑]

特征方程[编辑]

Mathieu Eigen value a(n,q)
Mathieu eigenvalue b(n,q)

马丟方程的特征方程是[1]

对于给定的v,q, 上列特征方程给出无穷多个a、b解称为特征值。

特征值的展开[编辑]

马丟函数体特征值可展开成级数:[2]

级数展开[编辑]

马丟函数ce,se的级数展开[3]

傅立叶展开式[编辑]

马丟函数的傅立叶展开:[3]

其中系数A,B满足下列归递关系:[3]


关系式[编辑]

马丟方程的基本解满足下列关系:[3]:

=

郎斯基行列式:




特例[编辑]

夫洛开解[编辑]

Mathieu Floquet

马丟函数中,如果 是一个周期为的解,并满足下列条件

,其中与x 无关,则此解称为夫洛开解。

级数展开

参考文献[编辑]

  1. ^ 1.0 1.1 1.2 王竹溪 郭敦仁 603 引用错误:带有name属性“W”的<ref>标签用不同内容定义了多次 引用错误:带有name属性“W”的<ref>标签用不同内容定义了多次
  2. ^ Frank p659
  3. ^ 3.0 3.1 3.2 3.3 Frank p660 引用错误:带有name属性“F”的<ref>标签用不同内容定义了多次 引用错误:带有name属性“F”的<ref>标签用不同内容定义了多次 引用错误:带有name属性“F”的<ref>标签用不同内容定义了多次
  • 王竹溪 郭敦仁 《特殊函数概论》 第十二章 马丟函数 北京大学出版社 2000
  • Frank J Oliver NIST Handbook of Mathematical Functions,Cambridge University PRESS, 2010