高斯-赛德尔迭代

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高斯-赛德尔迭代Gauss–Seidel method)是数值线性代数中的一个迭代法,可用来求出线性方程组解的近似值。该方法以卡爾·弗里德里希·高斯路德维希·赛德尔英语Philipp Ludwig von Seidel命名。

算法[编辑]

对于一个含有n个未知量及n个等式的如下线性方程组

为了求这个方程组的解,我们使用迭代法。k用来计量迭代步数。给定该方程组解的一个近似值。在求k+1步近似值时,我们利用第m个方程求解第m个未知量。在求解过程中,所有已解出的k+1步元素都被直接使用。这一点与雅可比法不同。对于每个元素可以使用如下公式

重复上述的求解过程,可以得到一个线性方程组解的近似值数列:。在该方法收敛的前提下,此数列收敛. 可以證明數列收斂若線性方程組係數矩陣為對稱正定矩陣(symmetric positive definite matrix)或對角優勢矩陣(diagonally dominant matrix)。

为了保证该方法可以进行,主对角线元素需非零。

矩阵分解[编辑]

线性方程组的系数可以被写成矩阵形式 , 该矩阵的第i行第j列元素满足 。方程组的右边项可以被写成向量形式 。 线性方程组因此可以被写成矩阵运算形式

矩阵可以分解成如下形式

,

其中为一个对角矩阵满足, 均为严格三角矩阵为严格下三角矩阵, 为严格上三角矩阵。

例子

.

高斯-赛德尔迭代的每一步可以写成如下形式

.

算法[编辑]

因为元素可以被重新赋值为在这个算法中计算得到的新值,所以只需要保存一个向量,而向量索引被省略。该算法如下:

输入: A, b
输出: 

初始化一个的猜测结果

repeat until convergence(收敛)
    for i from 1 until n do
        
        for j from 1 until n do
            if ji then
                
            end if
        end (j - loop)
        
    end (i-loop)
    check if convergence is reached(检查是否已收敛)
end (repeat)

參見[编辑]