在数论中,二次剩余的歐拉判別法(又稱歐拉準則)是用来判定给定的整数是否是一个质数的二次剩余。
叙述
若
是奇質數且
不能整除
,則:
是模
的二次剩余当且仅当:
![{\displaystyle d^{\frac {p-1}{2}}\equiv 1{\pmod {p}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab89b7999dc3ab653bd541ec9384c7f0ce5f1295)
是模
的非二次剩余当且仅当:
![{\displaystyle d^{\frac {p-1}{2}}\equiv -1{\pmod {p}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a7379bad3d1f0af0228c293f5179398426161e4)
以勒让德符号表示,即為:
举例
例子一:对于给定数,寻找其为二次剩余的模数
令a = 17。对于怎样的质数p,17是模p的二次剩余呢?
根据判别法里给出的准则,我们可以从小的质数开始检验。
首先测试p = 3。我们有:17(3 − 1)/2 = 171 ≡ 2 (mod 3) ≡ -1 (mod 3),因此17不是模3的二次剩余。
再来测试p = 13。我们有:17(13 − 1)/2 = 176 ≡ 1 (mod 13),因此17是模13的二次剩余。实际上我们有:17 ≡ 4 (mod 13),而22 = 4.
运用同余性质和勒让德符号可以加快检验速度。继续算下去,可以得到:
- 对于质数p =
,(17/p) = +1(也就是说17是模这些质数的二次剩余)。
- 对于质数p =
,(17/p) = -1(也就是说17是模这些质数的二次非剩余)。
例子二:对指定的质数p,寻找其二次剩余
哪些数是模17的二次剩余?
我们可以手工计算:
- 12 = 1
- 22 = 4
- 32 = 9
- 42 = 16
- 52 = 25 ≡ 8 (mod 17)
- 62 = 36 ≡ 2 (mod 17)
- 72 = 49 ≡ 15 (mod 17)
- 82 = 64 ≡ 13 (mod 17)
于是得到:所有模17的二次剩余的集合是
。要注意的是我们只需要算到8,因为9=17-8,9的平方与8的平方模17是同余的:92 = (−8)2 = 82 ≡ 13 (mod 17).(同理不需计算比9大的数)。
但是对于验证一个数是不是模17的二次剩余,就不必将所有模17的二次剩余全部算出。比如说要检验数字3是否是模17的二次剩余,只需要计算3(17 − 1)/2 = 38 ≡ 812 ≡ ( − 4)2 ≡ − 1 (mod 17),然后由欧拉准则判定3不是模17的二次剩余。
欧拉准则与高斯引理以及二次互反律有关,并且在定义欧拉-雅可比伪素数(见伪素数)时会用到。
證明
首先,由于
是一个奇素数,由费马小定理,
。但是
是一个偶数,所以有
![{\displaystyle (d^{\frac {p-1}{2}}-1)\cdot (d^{\frac {p-1}{2}}+1)\equiv 0{\pmod {p}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f732d673ad9beb694ad30725bd6630078890c6a)
是一个素数,所以
和
中必有一个是
的倍数。因此
模
的余数必然是1或-1。
- 證明若
是模
的二次剩餘,則![{\displaystyle d^{\frac {p-1}{2}}\equiv 1{\pmod {p}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab89b7999dc3ab653bd541ec9384c7f0ce5f1295)
若
是模
的二次剩餘,則存在
,
跟
互質。根據費馬小定理得:
![{\displaystyle d^{\frac {p-1}{2}}\equiv x^{p-1}\equiv 1{\pmod {p}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1457aa6d80dccd292ecaa34a7e2cc66d3c76ddaa)
- 證明若
,則
是模
的二次剩餘
是一个奇素数,所以关于
的原根存在。设
是
的一个原根,则存在
使得
。于是
![{\displaystyle a^{j{\frac {p-1}{2}}}\equiv 1{\pmod {p}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b440d41be3f24e1703611aa66fe5c450ddce4ffc)
是
的一个原根,因此
模
的指数是
,于是
整除
。这说明
是一个偶数。令
,就有
。
是模
的二次剩余。
參考资料
外部链接