在数学中,有许多对数恒等式。
代数恒等式
简化计算
对数可以用来简化计算。例如,两个数可以只通过查表和相加而得到乘积。
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對應到 |
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歐拉恆等式:
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消去指数
同底的对数和指数会彼此消去。这是因为对数和指数是互逆运算(就像乘法和除法那样)。
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因为 |
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因为 |
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换底公式
在计算器上计算对数时需要用到这个公式。例如,大多数计算器有ln和log10的按钮,但却没有的。要计算,你只有计算(或,两者结果一样)。
这个公式有许多推论:
是下标的任意的排列。例如
和/差公式
下面的和/差规则对概率论中的对数化概率的计算非常有用:
注意在使用时如果,等式右边的和必须互换。在时,因为0的对数无定义,所以此时减法等式无定义。
普通恒等式
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因为 |
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因为 |
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注意无定义,因为没有一个数使成立。
微积分恒等式
最后一个极限经常被总结为“的对数增长得比的任何次方或方根都慢”。
注意:说函数的极限“等于无穷大”是不严密的,因为“无穷大”不是数。上面右边是无穷大的等式的意思是,函数可以无限制的增加/减少。
对数函数的导数
积分定义
对数函数的积分
为了记忆积分,可以方便的定义:
于是,
求大数的近似数
对数恒等式可以用来求大数的近似数。
假设我们要得到第44个梅森质数的近似值。先取对数(被忽略),以10为底的对数等于 32,582,657 与的乘积,计算得到。再取指数消去对数,得到最后结果为 .
类似地,阶乘的结果可以用每项的对数之和来近似。