对数恒等式

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数学中,有许多对数恒等式

代数恒等式[编辑]

简化计算[编辑]

对数可以用来简化计算。例如,两个数可以只通过查表和相加而得到乘积。

\,\log_\theta xy=\log_{\theta}x+\log_{\theta}y 因为 \,\theta^x\theta^y=\theta^{x+y}
\log_\theta\frac{x}{y}= \log_{\theta}x-\log_{\theta}y \frac{\theta^x}{\theta^y}=\theta^{x-y}
\,\log_\theta x^y=y\log_\theta x \,({\theta^x})^y=\theta^{xy}
\log_\theta\sqrt[y]{x}=\frac{\log_{\theta}x}{y} \sqrt[y]{x}=x^\frac{1}{y}
\,\log_\theta-x=\log_\theta x+\pi i\log_\theta e 歐拉恆等式\,e^{\pi i}+1=0

消去指数[编辑]

同底的对数和指数会彼此消去。这是因为对数和指数是互逆运算(就像乘法和除法那样)。

 b^{\log_b(x)} = x 因为  \mathrm{antilog}_b(\log_b(x)) = x \!\,
 \log_b(b^x) = x \!\, 因为  \log_b(\mathrm{antilog}_b(x)) = x \!\,

换底公式[编辑]

\log_\theta x=\frac{\log_\phi x}{\log_\phi\theta}

在计算器上计算对数时需要用到这个公式。例如,大多数计算器有ln和log10的按钮,但却没有log2的。要计算log2(3),你只有计算log10(3) / log10(2)(或 ln(3)/ln(2),两者结果一样)。

这个公式有许多推论:

 \log_a b = \frac {1} {\log_b a}
 \log_{a^n} b =  {{\log_a b} \over n}
 a^{\log_b c} = c^{\log_b a}


 \log_{a_1}b_1 \,\cdots\, \log_{a_n}b_n
= \log_{a_{\pi(1)}}b_1\, \cdots\, \log_{a_{\pi(n)}}b_n, \,

\scriptstyle\pi\, 是下标 1, ..., n 的任意的排列。例如

 \log_a w\cdot \log_b x\cdot \log_c y\cdot \log_d z 
= \log_d w\cdot \log_a x\cdot \log_b y\cdot \log_c z. \,

和/差公式[编辑]

下面的和/差规则对概率论中的对数化概率的计算非常有用:

\log_\theta(\Chi\pm\Upsilon)=\log_\theta\Chi+\log_\theta(1\pm\theta^{\log_\theta\Upsilon- \log_\theta\Chi})

注意在使用时如果\,\Chi<\Upsilon,等式右边的\,\Chi\,\Upsilon必须互换。在\,\Chi=\Upsilon时,因为0的对数无定义,所以此时减法等式无定义。

普通恒等式[编辑]

 \log_b(1) = 0 \!\, 因为  b^0 = 1\!\,
 \log_b(b) = 1 \!\, 因为  b^1 = b\!\,

注意  \log_b(0) \!\, 无定义,因为没有一个数  x \!\, 使  b^x = 0 \!\, 成立。

微积分恒等式[编辑]

极限[编辑]

\lim_{x \to 0^+} \log_a x = -\infty \quad \mbox{if } a > 1
\lim_{x \to 0^+} \log_a x =  \infty \quad \mbox{if } a < 1
\lim_{x \to \infty} \log_a x =   \infty \quad \mbox{if } a > 1
\lim_{x \to \infty} \log_a x =  -\infty \quad \mbox{if } a < 1
\lim_{x \to 0^+} x^b \log_a x = 0
\lim_{x \to \infty} {1 \over x^b} \log_a x = 0

最后一个极限经常被总结为“x 的对数增长得比 x 的任何次方或方根都慢”。

注意:说函数的极限“等于无穷大”是不严密的,因为“无穷大”不是数。上面右边是无穷大的等式的意思是,函数可以无限制的增加/减少。

对数函数的导数[编辑]

{d \over dx} \ln x = {1 \over x } = {\ln e \over x }

积分定义[编辑]

\ln x = \int_1^x \frac {1}{t} dt

对数函数的积分[编辑]

\int \log_a x \, dx = x(\log_a x - \log_a e) + C

为了记忆积分,可以方便的定义:

x^{\left [n \right]} = x^{n}(\log(x) - H_n)
x^{\left [ 0 \right ]} = \log x
x^{\left [ 1 \right ]} = x \log(x) - x
x^{\left [ 2 \right ]} = x^2 \log(x) - \begin{matrix} \frac{3}{2} \end{matrix} \, x^2
x^{\left [ 3 \right ]} = x^3 \log(x) - \begin{matrix} \frac{11}{6} \end{matrix} \, x^3

于是,

\frac {d}{dx} \, x^{\left [ n \right ]} = n \, x^{\left [ n-1 \right ]}
\int x^{\left [ n \right ]}\,dx = \frac {x^{\left [ n+1 \right ]}} {n+1} + C

求大数的近似数[编辑]

对数恒等式可以用来求大数的近似数。 假设我们要得到第44个梅森质数 232,582,657 - 1 的近似值。先取对数(-1被忽略),232,582,657 以10为底的对数等于 32,582,657 与 log10(2) 的乘积,计算得到 9,808,357.09543 = 9,808,357 + 0.09543。再取指数消去对数,得到最后结果为 109,808,357 * 100.09543 ≈ 1.25 * 109,808,357.

类似地,阶乘的结果可以用每项的对数之和来近似。