对数恒等式

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数学中,有许多对数恒等式

代数恒等式[编辑]

简化计算[编辑]

对数可以用来简化计算。例如,两个数可以只通过查表和相加而得到乘积。

因为
歐拉恆等式

消去指数[编辑]

同底的对数和指数会彼此消去。这是因为对数和指数是互逆运算(就像乘法和除法那样)。

因为
因为

换底公式[编辑]

在计算器上计算对数时需要用到这个公式。例如,大多数计算器有ln和log10的按钮,但却没有log2的。要计算log2(3),你只有计算log10(3) / log10(2)(或 ln(3)/ln(2),两者结果一样)。

这个公式有许多推论:


是下标 1, ..., n 的任意的排列。例如

和/差公式[编辑]

下面的和/差规则对概率论中的对数化概率的计算非常有用:

注意在使用时如果,等式右边的必须互换。在时,因为0的对数无定义,所以此时减法等式无定义。

普通恒等式[编辑]

因为
因为

注意 无定义,因为没有一个数 使 成立。

微积分恒等式[编辑]

极限[编辑]

最后一个极限经常被总结为“x 的对数增长得比 x 的任何次方或方根都慢”。

注意:说函数的极限“等于无穷大”是不严密的,因为“无穷大”不是数。上面右边是无穷大的等式的意思是,函数可以无限制的增加/减少。

对数函数的导数[编辑]

积分定义[编辑]

对数函数的积分[编辑]

为了记忆积分,可以方便的定义:

于是,

求大数的近似数[编辑]

对数恒等式可以用来求大数的近似数。 假设我们要得到第44个梅森质数 232,582,657 - 1 的近似值。先取对数(-1被忽略),232,582,657 以10为底的对数等于 32,582,657 与 log10(2) 的乘积,计算得到 9,808,357.09543 = 9,808,357 + 0.09543。再取指数消去对数,得到最后结果为 109,808,357 * 100.09543 ≈ 1.25 * 109,808,357.

类似地,阶乘的结果可以用每项的对数之和来近似。