對數恆等式

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數學中,有許多對數恆等式

代數恆等式[編輯]

簡化計算[編輯]

對數可以用來簡化計算。例如,兩個數可以只通過查表和相加而得到乘積。

對應到
歐拉恆等式

消去指數[編輯]

同底的對數和指數會彼此消去。這是因為對數和指數是互逆運算(就像乘法和除法那樣)。

因為
因為

換底公式[編輯]

在計算器上計算對數時需要用到這個公式。例如,大多數計算器有lnlog10的按鈕,但卻沒有的。要計算,你只有計算(或,兩者結果一樣)。

這個公式有許多推論:


是下標的任意的排列。例如

和/差公式[編輯]

下面的和/差規則對機率論中的對數化機率的計算非常有用:

注意在使用時如果,等式右邊的必須互換。在時,因為0的對數無定義,所以此時減法等式無定義。

普通恆等式[編輯]

因為
因為

注意無定義,因為沒有一個數使成立。

微積分恆等式[編輯]

極限[編輯]

最後一個極限經常被總結為「的對數增長得比的任何次方或方根都慢」。

注意:說函數的極限「等於無窮大」是不嚴密的,因為「無窮大」不是數。上面右邊是無窮大的等式的意思是,函數可以無限制的增加/減少。

對數函數的導數[編輯]

積分定義[編輯]

對數函數的積分[編輯]

為了記憶積分,可以方便的定義:

於是,

求大數的近似數[編輯]

對數恆等式可以用來求大數的近似數。 假設我們要得到第44個梅森質數的近似值。先取對數(被忽略),以10為底的對數等於 32,582,657 與的乘積,計算得到。再取指數消去對數,得到最後結果為 .

類似地,階乘的結果可以用每項的對數之和來近似。