等周定理 ,又稱等周不等式 (英語:isoperimetric inequality ),是一个几何中的不等式定理,说明了欧几里得平面上的封闭图形的周长以及其面积之间的关系。其中的“等周”指的是周界的长度相等。等周定理說明在周界 长度相等的封闭几何形狀 之中,以圓 形的面積 最大;另一個說法是面積相等的几何形狀之中,以圓形的周界长度最小。這兩種說法是等價的。它可以以不等式 表達:若
P
{\displaystyle P}
為封闭曲線 的周界长,
A
{\displaystyle A}
為曲線所包圍的區域面積,
4
π
A
≤
P
2
{\displaystyle 4\pi A\leq P^{2}}
。
虽然等周定理的结论早已为人所知,但要严格的证明这一点并不容易。首个严谨的数学证明直到19世纪才出现。之后,数学家们陆续给出了不同的证明,其中有不少是非常简单的。等周问题有许多不同的推广,例如在各种曲面而不是平面上的等周问题,以及在高维的空间中给定的“表面 ”或区域的最大“边界长度”问题等。
在物理中,等周问题和跟所谓的最小作用量原理 有關。一个直观的表现就是水珠的形状。在没有外力的情况下(例如失重的太空舱里),水珠的形状是完全对称的球体。这是因为当水珠体积一定时,表面张力 会迫使水珠的表面积达到最小值。根据等周定理,最小值是在水珠形状为球状时达到。
歷史
不完全凸的封閉曲線的話,能以「翻折」凹的部分以成為凸的圖形,以增加面積,而周长不变
一个狭长的图形可以通过“压扁”来变得“更圆”,从而使得面积更大而周长不变。
平面上的等周问题是等周问题最经典的形式,它的出现可以追溯到很早以前。这个问题可以被表述为:在平面上所有周长一定的封闭曲线中,是否有一个围成的面积最大?如果有的话,是什么形状?另一种等价的表述是:当平面上的封闭曲线围成的面积一定时,怎样的曲线周长最小?
雖然圓看似是問題的表面答案,但證明此事實其實不易。首個接近答案的步驟出現在1838年——雅各·史坦納 以幾何方法證明若答案存在,答案必然是圓形[1] 。不久之后他的证明被其他数学家完善。
其方法包括證明了不完全凸 的封閉曲線的話,能以「翻折」凹 的部分以成為凸的圖形,以增加面積;不完全對稱的封閉曲線能以傾斜來取得更多的面積。圓,是完全凸和對稱的形狀。可是這些並不足以作為等周定理的嚴格 證明。
1901年,阿道夫·赫維茲 憑傅里叶级数 和格林定理 給出一個純解析的證明。
證明
以下給出一個較初等的證明[2] ,分5步。
設一條長度為P的封閉曲綫圍成的區域的最大面積為A,亦以A、P來標記該區域及其邊界;那麼該圖形應當滿足如下性質:
1、A是一個凸區域。
假使不然,A是一個凹區域。那麼根據定義,可以在P內找到兩個點M和N,使其連線MN有一部份M'N'不包含于A的內部。然而如以M'N'替換掉原來的那段弧,則周長將減少,面積將增加,從而將新圖形擴大若干倍后得到一個同樣周長,面積比A大的區域。矛盾。
2、凡平分周長P的弦必平分面積A。
如果一弦MN平分P而將A分為大小不同的兩部份
A
1
>
A
2
{\displaystyle A_{1}>A_{2}}
,那麼去掉
A
2
{\displaystyle A_{2}}
而將
A
1
{\displaystyle A_{1}}
對MN做對稱,則可得到一個周長仍然等於P而面積等於
2
A
1
>
A
1
+
A
2
=
A
{\displaystyle 2A_{1}>A_{1}+A_{2}=A}
的區域,矛盾。
3、凡平分A的弦,無論方向,長度相等。
如果不然,不妨設兩弦MN和M'N'均平分面積A而MN>M'N'。那麼分別選取MN及其任一側的曲綫(半個P,不妨記為
P
1
{\displaystyle P_{1}}
),以及M'N'及其任一側的區域(另行劃分的半個P,記為
P
1
′
{\displaystyle P'_{1}}
),并粘合在一起使得M'N'落在MN上,M與M'重合。
此時,新的圖形仍然滿足周長為P,面積為A的性質,且由於MN>M'N',N'應落於MN之間。
以M為中心,分別對
P
1
{\displaystyle P_{1}}
和
P
1
′
{\displaystyle P'_{1}}
做
λ
{\displaystyle \lambda }
和
μ
{\displaystyle \mu }
倍的放縮,使兩曲綫的終端吻合(即N和N'經過變換之後重合,記為
N
″
{\displaystyle N''}
),得到兩個分別與原區域相似的區域
Q
1
{\displaystyle Q_{1}}
和
Q
1
′
{\displaystyle Q'_{1}}
。適當調整
λ
{\displaystyle \lambda }
和
μ
{\displaystyle \mu }
的值,使曲綫
M
Q
1
N
″
Q
1
′
M
{\displaystyle MQ_{1}N''Q'_{1}M}
的周長仍為P。
此時
Q
1
{\displaystyle Q_{1}}
和
Q
1
′
{\displaystyle Q'_{1}}
的長度分別等於
P
λ
/
2
{\displaystyle P\lambda /2}
和
P
μ
/
2
{\displaystyle P\mu /2}
,所圍的面積分別等於
A
λ
2
/
2
{\displaystyle A\lambda ^{2}/2}
和
A
μ
2
/
2
{\displaystyle A\mu ^{2}/2}
;並且由於MN和MN'經過放縮后重合,有
λ
M
N
=
μ
M
N
′
{\displaystyle \lambda MN=\mu MN'}
。
由於曲綫
M
Q
1
N
″
Q
1
′
M
{\displaystyle MQ_{1}N''Q'_{1}M}
的周長仍為P,故
P
λ
/
2
+
P
μ
/
2
=
P
{\displaystyle P\lambda /2+P\mu /2=P}
,從而
λ
+
μ
=
2
{\displaystyle \lambda +\mu =2}
;而由
λ
M
N
=
μ
M
N
′
,
M
N
>
M
N
′
{\displaystyle \lambda MN=\mu MN',MN>MN'}
知
0
<
λ
<
1
{\displaystyle 0<\lambda <1}
。
所以,
M
Q
1
N
″
Q
1
′
M
{\displaystyle MQ_{1}N''Q'_{1}M}
的面積為
A
(
λ
2
+
μ
2
)
/
2
=
A
(
λ
2
+
(
2
−
λ
)
2
)
/
2
=
A
(
λ
2
−
2
λ
+
2
)
>
A
{\displaystyle A(\lambda ^{2}+\mu ^{2})/2=A(\lambda ^{2}+(2-\lambda )^{2})/2=A(\lambda ^{2}-2\lambda +2)>A}
,與A最大矛盾。
4、若MN平分A,O為MN中點,那麼對P上任意一點R,都有OM=ON=OR。
以O為中心,做MRN的中心對稱圖形,R對稱到R';那麼圖形MR'NRM的周長為P,面積為A。由第3步知MN和RR'的長度應該相等,而O也是RR'的中點,故得結論。
5、由於O到P上任意一點的距離都相等,所以P是圓。
参见
参考来源
^ J. Steiner, Einfacher Beweis der isoperimetrischen Hauptsätze , J. reine angew Math.
18 , (1838), pp. 281–296; and Gesammelte Werke Vol. 2, pp. 77–91, Reimer, Berlin, (1882).
^ 福原満洲雄、山中健,変分学入門,朝倉書店,1978.3.