X²+1素数
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x²+1素数问题是一個未解决的数学问题，其陳述為：是否有无穷个正整数x，使得x²+1為素数？
這個問題得到许多数论学者的關注。有學者認為這個問題比孪生素数猜想更加困难，因为在正整数中，形如x²+1的数比p+2稀少，所以x²+1为素数的概率更小。[1]
10000以內的x²+1素数為（
A002496）：2, 5, 17, 37, 101, 197, 257, 401, 577, 677, 1297, 1601, 2917, 3137, 4357, 5477, 7057, 8101, 8837。
歷史
在1912年的国际数学家大会上，愛德蒙·蘭道就素數理論的發展和黎曼ζ函數作演說，當中他提到有四個關於素數的問題，是“以目前的科學狀況無法攻克”的。第四個問題便是：“函數u²+1在u取整數值時是否給出了無窮多個質數？”[2]
推論
更一般地，設f(x)=ax^2+bx+c為整系數二次函數。可以證明，若f(x)能取無窮多次的質數值，那麼a, b, c須符合以下條件：
一個廣義化的猜想便是，若a為正數且a, b, c符合上述3個條件，那麼f(x)便能取無窮多次的質數值（見布尼亚科夫斯基猜想）。[3]
進展
![{\displaystyle \#\left(\{n:n=k^{2}+1\,{\text{and}}\,n<x\}\cap \mathbb {P} \right)\sim \prod _{p>2 \atop {p\in \mathbb {P} }}\left[1-{\frac {1}{p-1}}\left({\frac {-1}{p}}\right)\right]{\frac {\sqrt {x}}{\ln x}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bff6794273d3e0f02e34fae711a8dcb763be3599)
根據弗里德蘭德-伊萬涅茨定理，存在無窮多個形如的質數。
在1978年，亨里克·伊万涅茨證明了存在無窮多個x，使得至多是兩個質數的積。
X²+1合数与佩尔方程
由于问题的困难，人们开始关注X²+1合数，企图从X²+1合数的蛛丝马迹中寻找X²+1素数。[來源請求]发现许许多多X²+1合数有平方因子
例如：18²+1=325=5²×13；32²+1=1025=5²×41；38²+1=1445=5×17²；68²+1=4625=5³×37；70²+1=4901=13²×29；....。
这是一个佩尔方程形式：
38²-5×17²=-1；70²-29×13²=-1。
註釋
- ^ “10000个科学难题”数学编委会 編. 10000个科学难题（数学卷）. 科学出版社. 2009: 102 [2014-10-25]. ISBN 9787030242679. （原始内容存档于2016-03-07）.
- ^ 2.0 2.1 János Pintz. LANDAU'S PROBLEMS ON PRIMES (PDF). [2014-10-25]. （原始内容存档 (PDF)于2013-10-30）.
- ^ 《数学辞海》编辑委员会 编. 數學辭海（第六卷）. 山西教育出版社、中國科學技術出版社、東南大學出版社. 2002: 660 [2014-10-25]. ISBN 9787544024013. （原始内容存档于2014-10-25）.
参考文献
- Kaisa Matomäki, Approaches to primes of the form aq2 + 1 （页面存档备份，存于互联网档案馆）, Department of Mathematics, University of London, 2008. section 1.
- Problems & Puzzles: Conjectures, Conjecture 5: Are there infinitely many primes of the form n2+1?. primepuzzles.net. [2012-04-20]. （原始内容存档于2018-10-19）.
- Stephan Baier, Liangyi Zhao. ON PRIMES REPRESENTED BY QUADRATIC POLYNOMIALS (PDF). Anatomy of Integers, CRM Proc. & Lecture Notes: 166 – 169.[永久失效連結]