龐特里亞金對偶性

在數學上，特別是在調和分析與拓撲群的理論中，龐特里雅金對偶定理解釋了傅立葉變換的一般性質。它統合了實數線上或有限阿貝爾群上的一些結果，如：

實數線上夠「好」的複數值周期函數能表成傅立葉級數，反之也能從傅立葉級數推出原函數。

實數線上夠「好」的複數值函數有傅立葉變換；一如周期函數，在此也能從其傅立葉變換反推出原函數。

有限阿貝爾群上的複數值函數有離散傅立葉變換，這是在對偶群上的函數。此外，也從離散傅立葉變換反推原函數。

此理論由龐特里亞金（Lev Pontryagin）首開，並結合了約翰·馮·諾伊曼與安德烈·韦伊的哈爾測度理論，它依賴於局部緊阿貝爾群的對偶群理論。

哈爾測度

一個拓撲群 $G$ 被稱作局部緊的，若且唯若其單位元素e有個緊鄰域。明白地說，這代表存在一個包含e的開集 $V$ ，使得它在 $G$ 裡的閉包 ${\bar {V}}$ 是緊的。局部緊群 $G$ 最值得注意的性質之一是它帶有一個唯一的自然測度，稱作哈爾測度，這使得我們可以一致地為 $G$ 中「夠好」的子集測量大小；在此「夠好」的明確意義是博雷爾集，即由緊集生成的σ-代數。更明確地說，局部緊群 $G$ 的一個右哈爾測度是指一個有限可加的博雷爾測度μ，並在 $\mu (xg)=\mu (x)\;(\forall g\in G)$ 的意義下滿足「右不變性」；此測度尚須滿足一些正則性（詳見主條目哈爾測度）。任兩個右不變哈爾測度至多差一個正的比例常數。準此要領，亦可定義左不變哈爾測度，當 $G$ 是阿貝爾群時兩者符應。

此測度讓我們得以定義 $G$ 上的複數值博雷爾函數的積分，特別是可以考慮相關的 $L^{p}$ 空間：

L_{\mu }^{p}(G)=\left\{f:G\rightarrow \mathbb {C} :\int _{G}|f(x)|^{p}\,d\mu (x)<\infty \right\}

以下是局部緊阿貝爾群的若干例子：

$\mathbb {R} ^{n}$ ，配上向量加法。
正實數配上乘法。此群透過指數及對數映射同構於 $\mathbb {R}$ 。
任意賦以離散拓撲的有限阿貝爾群。根據有限阿貝爾群的結構定理，任何這樣的群都是循環群的直積。
整數 $\mathbb {Z}$ 配上加法，並賦予離散拓撲。
圓群 $\mathbb {T}$ 。這是絕對值為一的複數在乘法下構成的群。我們有同構 $\mathbb {T} \cong \mathbb {R} /\mathbb {Z}$ 。
p進數配上加法及其p進拓撲。

對偶群

若 $G$ 是局部緊緻阿貝爾群， $G$ 的特徵標是一個從 $G$ 到圓群 $\mathbb {T}$ 的連續群同態；特徵標在逐點乘法下構成一個群，一個特徵標的反元素是它的複共軛。可證明所有 $G$ 上的特徵標在緊緻開拓撲（即：以緊集上的一致收斂定義收歛性）下構成一個局部緊緻阿貝爾群，稱作對偶群，記為 ${\hat {G}}$ 或 $G^{\wedge }$ 。若 $G$ 可分，則 ${\hat {G}}$ 可度量化，對一般的 $G$ 則不盡然。

這可用線性代數中的對偶空間來類比，就像一個佈於 $K$ 的向量空間 $V$ 有對偶空間 $\mathrm {Hom} (V,K)$ ，對偶群可看成 $\mathrm {Hom} (G,\mathbb {T} )$ 。更抽象的說，這兩者都是可表函子，被 $K$ 及 $\mathbb {T}$ 所表示。

定理：二次對偶 $G^{\wedge \wedge }$ 與 $G$ 有個自然同構。

在此，「自然」或「典範」同構意謂一個「自然地」定義的映射 $G\rightarrow G^{\wedge \wedge }$ ，要點是它在範疇中滿足函子性（詳見條目範疇論）。舉例明之：任何有限阿貝爾群都同構於其對偶群，但並不存在典範同構。

定理中的自然同構定義如下：

x\mapsto \{\chi \mapsto \chi (x)\}{\mbox{ i.e. }}x(\chi ):=\chi (x)

。

換言之，我們藉著將一個元素 $x\in G$ 在每個 $G$ 的特徵上求值，得到一個 ${\hat {G}}$ 上的特徵。

例子

在整數對加法形成的無窮循環群 $\mathbb {Z}$ （配上離散拓撲）上，設χ為一特徵，則 $\chi (n)=\chi (1)^{n}$ ，因此χ決定於χ(1)的值；反之，給定一個 $\alpha \in \mathbb {T}$ ，必存在特徵χ使得χ(1)=α，由此得到群同構 $\mathbb {Z} ^{\wedge }{\stackrel {\sim }{\rightarrow }}\mathbb {T}$ 。此外也容易驗證 $\mathbb {Z} ^{\wedge }$ 上的緊-開拓撲對應到 $\mathbb {T}$ 誘導自 $\mathbb {C}$ 的拓撲。

因此， $\mathbb {Z}$ 的對偶群自然地同構於 $\mathbb {T}$ 。

反之， $\mathbb {T}$ 上的特徵皆形如 $z\mapsto z^{n}$ ，其中n是整數。由於 $\mathbb {T}$ 是緊的，其對偶群上的拓撲由一致收斂性給出，對應的不外是 $\mathbb {Z}$ 上的離散拓撲。因此 $\mathbb {T}$ 的對偶群自然地同構於 $\mathbb {Z}$ 。

實數對加法構成的群 $\mathbb {R}$ 同構於自身的對偶群； $\mathbb {R}$ 上的特徵皆形如 $r\mapsto e^{ir}$ ，其中r是實數。藉著這些對偶性，下節描述的傅立葉變換將符應於 $\mathbb {R}$ 上的古典版本。

傅立葉變換

對於一個局部緊阿貝爾群 $G$ ，傅立葉變換的值域是其對偶群。設 $f\in L^{1}(G)$ ，則其傅立葉變換是下述 ${\hat {G}}$ 上的函數：

{\widehat {f}}(\chi )=\int _{G}f(x){\overline {\chi (x)}}\;d\mu (x)

其中μ是 $G$ 上的一個哈爾測度。可以證明 ${\hat {f}}$ 是 ${\hat {G}}$ 上的有界連續函數，且在無窮遠處趨近零。同理可給出 $g\in L^{1}({\hat {G}})$ 的傅立葉逆變換

{\check {g}}(x)=\int _{\widehat {G}}g(\chi )\chi (x)\;d\nu (\chi )

其中ν是 ${\hat {G}}$ 上的一個哈爾測度。

群代數

局部緊阿貝爾群 $G$ 上的可積函數構成一個代數，其乘法由卷積給出：設 $f,g\in L^{1}(G)$ ，則卷積定義為

[f\star g](x)=\int _{G}f(x-y)g(y)\,d\mu (y)

。

定理：巴拿赫空間 $L^{1}(G)$ 在卷積下構成一個交換結合代數。

此代數稱作 $G$ 的群代數。根據 $L^{1}(G)$ 的完備性，它是個巴拿赫空間。巴拿赫代數 $L^{1}(G)$ 一般沒有乘法單位元，除非 $G$ 離散。但它有個近似單位元，這是個網，以一有向集 $I$ 為索引，寫作 $(e_{i})_{i\in I}$ 並滿足下述性質。

f\star e_{i}\rightarrow f

。

傅立葉變換將卷積映至逐點乘法，即：

{\mathcal {F}}(f\star g)(\chi )={\mathcal {F}}(f)(\chi )\cdot {\mathcal {F}}(g)(\chi )

。

特別是，對任意 $G$ 上的特徵χ，可在群代數上定義一積性線性泛函

f\mapsto {\widehat {f}}(\chi )

。

群代數的重要性質之一，在於這些線性泛函窮竭了群代數上所有非平凡（即：非恆零）的積性線性泛函。見文獻中Loomis著作的第34節。

普朗歇尔暨傅立葉反轉定理

如前所述，一個局部緊阿貝爾群 $G$ 的對偶群依然是局部緊阿貝爾群，因而帶有一族哈爾測度，彼此至多差一個比例常數。

定理：對偶群上存在一個哈爾測度，使得傅立葉變換在緊支集連續函數空間上的限制為等距同構。它可以唯一地延拓為一個么正算子。

{\mathcal {F}}:L_{\mu }^{2}(G)\rightarrow L_{\nu }^{2}({\widehat {G}})

其中 $\nu$ 是對偶群上既取的哈爾測度。

注意到：若 $G$ 非緊， $L^{1}(G)$ 並不包含 $L^{2}(G)$ ，所以我們須訴諸一些技巧，例如限制於一個稠密子空間。

依循Loomis書中術語，我們稱一對 $G$ 與其對偶群上的哈爾測度 $(\mu ,\nu )$ 是相繫的，若且唯若傅立葉反轉公式成立。傅立葉變換之么正性遂蘊含：對所有 $G$ 上的連續緊支集複數值函數 $f$ 都有

\int _{G}|f(x)|^{2}\ d\mu (x)=\int _{\widehat {G}}|{\widehat {f}}(\chi )|^{2}\ d\nu (\chi )

在平方可積函數空間上，我們考慮的傅立葉變換是透過上述么正延拓得到的算子。對偶群本身也有個傅立葉逆變換；它可以刻劃為傅立葉變換之逆（或其伴隨算子，因為傅立葉變換是么正的），這是以下傅立葉反轉公式的內涵。

定理：取定一對相繫哈爾測度 $(\mu ,\nu )$ ；對於傅立葉變換在緊支集連續函數上的限制，其伴隨算子是傅立葉逆變換：

L_{\nu }^{2}({\widehat {G}})\rightarrow L_{\mu }^{2}(G)

在 $G=\mathbb {R} ^{n}$ 的情形，我們有 ${\hat {G}}=\mathbb {R} ^{n}$ ，若取下述相繫的哈爾測度，則回到傅立葉變換的古典定義：

\mu =(2\pi )^{-n/2}\times

（勒貝格測度）

\nu =(2\pi )^{-n/2}\times

（勒貝格測度）

在 $G=\mathbb {T}$ 的情形，對偶群 ${\hat {G}}$ 自然同構於 $\mathbb {Z}$ ，而上述算子 $F$ 歸於計算周期函數的傅立葉係數。
若 $G$ 為有限群，則得到離散傅立葉變換。此情形易直接證明。

玻爾緊化

龐特里亞金對偶定理的重要應用之一是下述刻劃：

定理：一個局部緊阿貝爾群 $G$ 為緊，若且唯若對偶群 ${\hat {G}}$ 為離散。另一方面， $G$ 為離散若且唯若 ${\hat {G}}$ 為緊。

對任何拓撲群，無論局部緊或交換與否，皆可定義玻爾緊化。上述對偶性的用處之一是刻劃局部緊阿貝爾群的玻爾緊化。對一個局部緊阿貝爾群 $G$ ，考慮拓撲群 ${\hat {H}}$ ，其中 $H$ 就群結構而言是 ${\hat {G}}$ ，但帶離散拓撲。由於下述包含映射

\iota :H\rightarrow {\widehat {G}}

是個連續同態，其對偶同態

G\sim {\widehat {\widehat {G}}}{\rightarrow }{\widehat {H}}

是個映至一個緊群的同態；可以證明它滿足定義玻爾緊化的泛性質，因而 ${\hat {H}}$ 確為 $G$ 的玻爾緊化。

範疇論觀點

函子的觀點對於研究對偶群是很有用的。以下將以LCA表示所有局部緊阿貝爾群及其間的連續群同態構成之範疇。

對偶群的構造 $G\mapsto {\hat {G}}$ 給出一個對偶函子 $\mathbf {LCA} \rightarrow \mathbf {LCA} ^{\mathrm {op} }$ 。其二次迭代 $G\mapsto G^{\wedge \wedge }$ 遂給出函子 $\mathbf {LCA} \rightarrow \mathbf {LCA}$ 。

定理：對偶函子是一個範疇等價。

定理：對偶函子的二次迭代自然同構於LCA上的恆等函子。

此同構可以類比於有限維向量空間的二次對偶（特別是實與複向量空間）。

龐特里亞金對偶性將離散群與緊群的子範疇交換。若 $R$ 是一個環，而 $G$ 是個左 $R$ -模，則從對偶性可推知離散左 $R$ -模與緊右 $R$ -模對偶。LCA裡的自同態環 $\mathrm {End} (G)$ 依對偶性對應至其反環（即：環的乘法次序交換）。舉例明之：取 $G=\mathbb {Z}$ ，則 ${\hat {G}}=\mathbb {T}$ ；前者滿足 $\mathrm {End} (G)=\mathbb {Z}$ ，對後者亦然。

非交換理論

對非交換群 $G$ 沒有類似的理論，因為此時對偶的對象 ${\hat {G}}$ ={ $G$ 的不可約表示之同構類}不只有一維表示，因此不構成一個群。在範疇論中類似的推廣稱作Tannaka-Krein對偶定理；但它缺乏與調和分析的聯繫，因而無法處理關於 ${\hat {G}}$ 上的普朗歇尔測度的問題。

某些非交換群的對偶理論以C*-代數的語言表述。

源流

龐特里亞金在1934年為局部緊阿貝爾群及其對偶性的理論奠下基礎。他的進路須假定群是第二可數的，並且是緊群或離散群。此條件先後由E.R. van Kampen（1935年）與安德魯·韋伊（1953年）改進為局部緊阿貝爾群。

文獻

下列書籍（可在大部分大學圖書館找到）都有局部緊阿貝爾群、對偶定理與傅立葉變換的相關章節。Dixmier的著作有非交換調和分析的材料，也有英譯本。

Jacques Dixmier, Les C*-algèbres et leurs Représentations, Gauthier-Villars,1969.
Lynn H. Loomis, An Introduction to Abstract Harmonic Analysis, D. van Nostrand Co, 1953
Walter Rudin, Fourier Analysis on Groups, 1962
Hans Reiter, Classical Harmonic Analysis and Locally Compact Groups, 1968（2nd ed produced by Jan D. Stegeman, 2000）。
Hewitt and Ross, Abstract Harmonic Analysis, vol 1, 1963.