巴拿赫极限

在数学分析中，巴拿赫极限（英語：Banach limit）指的是定义在全体有界复序列组成的巴拿赫空间$\ell ^{\infty }$上，对每个$\ell ^{\infty }$中的序列$x=(x_{n})$、$y=(y_{n})$和复数$\alpha$满足：

1. $\phi (\alpha x+y)=\alpha \phi (x)+\phi (y)$（线性）；
2. 若对每个$n\in \mathbb {N}$有$x_{n}\geq 0$，则$\phi (x)\geq 0$（正定性）；
3. $\phi (x)=\phi (Sx)$，其中$S$是移位算子，定义为$(Sx)_{n}=x_{n+1}$（移位不变性）；
4. 若$x$是收敛序列，则$\phi (x)=\lim x$

的连续线性泛函$\phi :\ell ^{\infty }\to \mathbb {C}$。

因此，$\phi$是对连续线性泛函$\lim x:c\mapsto \mathbb {C}$的延拓，其中$c\subset \ell ^{\infty }$是$\mathbb {C}$中收敛到某个极限的全体序列组成的复向量空间。进而可以视为发散级数论中的一个可和法。

换句话说，巴拿赫极限是对通常意义下极限概念的延拓，并且是线性、移位不变、正定的。可以对某个序列找到两个巴拿赫极限，使得各自作用下得到两个不同的值，我们称这类序列的巴拿赫极限不是唯一确定的。

作为上述性质的一个推论，每个实值巴拿赫极限也满足：

$\liminf _{n\to \infty }x_{n}\leq \phi (x)\leq \limsup _{n\to \infty }x_{n}$

巴拿赫极限的存在性通常需要应用哈恩-巴拿赫定理证明（分析学方法），也可以应用超滤子（这种方法在集合论的讨论中出现得更频繁）。这些证明都一定会用到选择公理（即所谓的非构造证明）。

几乎收敛

某些不收敛的级数在巴拿赫极限的作用下是唯一确定的。 例如$x=(1,0,1,0,\ldots )$，注意到$x+S(x)=(1,1,1,\ldots )$是常序列，并且

$2\phi (x)=\phi (x)+\phi (Sx)=\phi (x+Sx)=\phi ((1,1,1,\ldots ))=\lim((1,1,1,\ldots ))=1.$

因此对每个巴拿赫极限而言，它以$1/2$为极限。

我们将每个巴拿赫极限$\phi$下有相同的$\phi (x)$的有界序列$x$称为几乎收敛的。

Ba 空间

在$c\subset \ell ^{\infty }$中给定收敛序列$x=(x_{n})$，如果考虑对偶$\langle \ell ^{1},\ell ^{\infty }\rangle$，$x$通常的极限并不由$\ell ^{1}$的某个元素给出。实际上$\ell ^{\infty }$是$\ell ^{1}$的连续对偶空间（对偶巴拿赫空间）；反过来，$\ell ^{1}$虽然能诱导出$\ell ^{\infty }$中的连续线性泛函，但并不是全部。每个$\ell ^{\infty }$上的巴拿赫极限都是$\ell ^{\infty }$的对偶巴拿赫空间中的一个元素，但不在$\ell ^{1}$中。$\ell ^{\infty }$的对偶叫做ba空间，由一切自然数集子集的σ-代数上有限可加（符号）测度组成，或者等价地说是由每个自然数集的Stone–Čech紧化上的波莱尔（符号）测度组成。

外部链接

• 巴拿赫极限. PlanetMath. 

参考

• Balcar, Bohuslav; Štěpánek, Petr. Teorie množin 2. Praha: Academia. 2000. ISBN 802000470X （捷克语）. 
• Conway, John B. A Course in Functional Analysis. Graduate Texts in Mathematics 96. New York: Springer. 1994. ISBN 0-387-97245-5.