皮尔士定律

逻辑中的皮尔士定律（Peirce's law）得名于哲学家和逻辑学家查尔斯·桑德斯·皮尔士。它被接受为他的第一个公理化命题逻辑中一个公理。这个公理是排中律的推论。

在命题演算中，皮尔士定律说的是 ((P→Q)→P)→P。也就是说，如果你能证明 P 蕴含 Q 强制 P 是真的，则 P 必定是真的。

皮尔士定律在直觉逻辑或中间逻辑中是不成立的。在柯里-霍华德同构中，皮尔士定律是一种續體运算。

皮尔士定律的证明

在只使用否定和蕴涵运算符的命题演算中，A ∨ B 表示为 (A → B) → B。皮尔士定律等价于 (P → Q) ∨ P 也就是 ¬P ∨ Q ∨ P ，所以它是排中律的推论。

与演绎定理一起使用皮尔士定律

皮尔士定律允许你通过使用演绎定理来增强证明定理的技术。假设给你一组前提 Γ 而你希望从它们演绎出命题 Z。通过皮尔士定律，你可以向 Γ 增加(没有代价)额外的形如 Z→P 的前提。例如，假设我们给出了 P→Z 和 (P→Q)→Z 并且希望演绎出 Z，那么我们可以使用演绎定理来结论出 (P→Z)→(((P→Q)→Z)→Z) 是定理。接着我们可以增加另一个前提 Z→Q。从它和 P→Z，我们可以得到 P→Q。接着我们应用肯定前件于 (P→Q)→Z 作为它的大前提来得到 Z。运用演绎定理，我们得到 (Z→Q)→Z 从最初的前提得出。接着我们以 ((Z→Q)→Z)→Z 的形式使用皮尔士定律和肯定前件来从最初的前提推导 Z。我们就完成了最初预期的定理证明。

- P→Z 1. 假设
  - (P→Q)→Z 2. 假设
    - Z→Q 3. 假设
      - P 4. 假设
      - Z 5. 肯定前件使用步骤 4 和 1
      - Q 6. 肯定前件使用步骤 5 和 3
    - P→Q 7. 演绎自 4 到 6
    - Z 8. 肯定前件使用步骤 7 和 2
  - (Z→Q)→Z 9. 演绎自 3 到 8
  - ((Z→Q)→Z)→Z 10. 皮尔士定律
  - Z 11. 肯定前件使用步骤 9 到 10
- ((P→Q)→Z)→Z 12. 演绎自 2 到 11
(P→Z)→((P→Q)→Z)→Z) 13. 演绎自 1 到 12 QED

蕴涵命题演算的完备性

皮尔士定律的重要体现在它可以在只使用蕴涵的逻辑中替代排中律(参见蕴涵命题演算)。可以从公理模式:

P→(H→P)
(H→(P→Q))→((H→P)→(H→Q))
((P→Q)→P)→P
从 P 和 P→Q 推出 Q

(这里的 P,Q,R 只包含“→”作为连结词)演绎出的句子是只使用“→”作为连结词的所有重言式。

历史

下面是皮尔士自己的定律陈述:

第五图像(icon)需要排中原理和与它连接的其他命题。最简单的这种公式是:

{(x —< y) —< x} —< x。

这是难于自明的。如下看起来它是真的。它只能在最终结论 x 是假、而它的前提 (x —< y) —< x 是真的时候是假的。如果它是真的，要么它的结论 x 是真，这时整个公式将是真的，要么它的前提 x —< y 是假的。但是在最后一种情况下 x —< y 的前提也就是 x 必须是真的。(Peirce, CP 3.384)。

皮尔士接着指出了这个定律的一个直接应用:

从刚才给出的这个公式，我们立即就得到:

{(x —< y) —< a} —< x，

这里的 a 在 (x —< y) —< a 意味着从 (x —< y) 能得出所有命题的意义上使用的。通过这种理解，这个公式陈述了排中原理，从否认 x 为假得出 x 为真。(Peirce, CP 3.384)。

引用

Peirce, C.S., "On the Algebra of Logic: A Contribution to the Philosophy of Notation", American Journal of Mathematics 7, 180–202 (1885). Reprinted, the Collected Papers of Charles Sanders Peirce 3.359–403 and the Writings of Charles S. Peirce: A Chronological Edition 5, 162–190.

Peirce, C.S., Collected Papers of Charles Sanders Peirce, Vols. 1–6, Charles Hartshorne and Paul Weiss (eds.), Vols. 7–8, Arthur W. Burks (ed.), Harvard University Press, Cambridge, MA, 1931–1935, 1958.

参见

弗雷格命题演算
排中律
逻辑图 — 包含了皮尔士定律的一个证明。
海廷代数
直觉逻辑