Hankel变换

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汉克尔变换是指对任何给定函数 以第一类贝塞尔函数 作无穷级数展开,贝塞尔函数 的阶数不变,级数各项 作变化。各项 前系数 构成了变换函数。对于函数 , 其 阶贝塞尔函数的汉克尔变换( 为自变量)为

其中, 为阶数为 的第一类贝塞尔函数,。对应的,逆汉克尔变换 定义为

汉克尔变换是一种积分变换,最早由德国数学家 Hermann Hankel 提出,又被称为傅立叶-贝塞尔变换。

正交性[编辑]

贝塞尔函数构成 正交函数族 权重因子为 r:

其中 大于零。


与其他函数变换的关系[编辑]

傅立叶变换[编辑]

零阶汉克尔函数即为圆对称函数的二维傅立叶变换。给定二维函数 ,径向矢量为 ,其傅立叶变换为

不失一般性,选择极坐标 ,使得矢量 方向指向 。极坐标下的傅立叶变换写作

其中 为矢量 间夹角。如果函数 恰为圆对称不依赖角变量 ,对角度 的积分可以提出,傅立叶变换写作

此式恰为 的零阶汉克尔变换的 倍。

常见汉克尔变换函数对[编辑]

for -2<Re(m)<-1/2
, 可为复数

参见条目[编辑]