汉克尔变换是指对任何给定函数
以第一类贝塞尔函数
作无穷级数展开,贝塞尔函数
的阶数不变,级数各项
作变化。各项
前系数
构成了变换函数。对于函数
, 其
阶贝塞尔函数的汉克尔变换(
为自变量)为

其中,
为阶数为
的第一类贝塞尔函数,
。对应的,逆汉克尔变换
定义为

汉克尔变换是一种积分变换,最早由德国数学家赫尔曼·汉克尔提出,又被称为傅立叶-贝塞尔变换。
贝塞尔函数构成 正交函数族 权重因子为 r:

其中
与
大于零。
零阶汉克尔函数即为圆对称函数的二维傅立叶变换。给定二维函数
,径向矢量为
,其傅立叶变换为

不失一般性,选择极坐标
,使得矢量
方向指向
。极坐标下的傅立叶变换写作

其中
为矢量
与
间夹角。如果函数
恰为圆对称不依赖角变量
,
,对角度
的积分可以提出,傅立叶变换写作

此式恰为
的零阶汉克尔变换的
倍。
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for -2<Re(m)<-1/2
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, 可为复数
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