User:LaanChae/沙盒
在球面三角学中，球面余弦定理是一个与球面三角形的边和角有关的定理，类似于平面三角学的余弦定理。
给定一个单位球，球体表面的球面三角形由连接球体上三点 、 和 的大圆定义（如右图）。如果这三条边的长度是 （从 到 ）、（从 到 ）和 （从 到 ），并且 对面的角是 ，那么（第一）球面余弦定理指出：
由于这是一个单位球，这三条边的长度 、 和 就等于它们所对的圆心角（以弧度为单位）。对于非单位球体，边的长度是它所对的圆心角乘以球的半径，即使 、 和 被理解为边所对的圆心角，这个公式也成立）。作为一个特殊情况，若 ，那么 ，我们就可以得到球面上的勾股定理：
如果用球面余弦定理来求解 ，那么当 很小的时候，必须进行的反余弦函数运算就会放大误差。在这种情况下，使用另一个公式半正矢公式更为可取。
球面余弦定理的一个变种，即（第二）球面余弦定理（也称做角的余弦定理）指出：
其中 和 分别为边 和 所对的角。这个公式可以在与给定三角形相对的极三角形中运用第一定理得到。
证明[编辑]
第一个证明[编辑]
设 、 和 表示从球体中心到三角形的那些角的单位向量。123