在线性代数和泛函分析的数学领域中,内积空间 V 的子空间 W 的正交补(英語:orthogonal complement)
是正交于 W 中所有向量的所有 V 中向量的集合,也就是
![{\displaystyle W^{\bot }=\left\{\,x\in V:\forall y\in W,\langle x,y\rangle =0\,\right\}.\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4cc47dd85482c2f37ae809599737954de4846049)
正交补总是闭合在度量拓扑下。在希尔伯特空间中,W 的正交补的正交补是 W 的闭包,就是说
![{\displaystyle W^{\bot \,\bot }={\overline {W}}.\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7d87eb7737b488d047fd7e48f54c17c8bd6f2d74)
如果 A 是
矩阵,而
,
和
分别指称列空间、行空间和零空间,则有
![{\displaystyle (\mathrm {Row} \,A)^{\bot }=\mathrm {Nul} \,A}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/67c390408168ec6b341f7c0d239b6bca55e88b4c)
和
![{\displaystyle (\mathrm {Col} \,A)^{\bot }=\mathrm {Nul} \,A^{T}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1ffc7976196798ec041d973dcb5b048dd0c0837d)
在一般的巴拿赫空间中有自然的类似物。在这种情况下类似的定义 W 的正交补为 V 的对偶的子空间
![{\displaystyle W^{\bot }=\left\{\,x\in V^{*}:\forall y\in W,x(y)=0\,\right\}.\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d9d179f67cbea9709d4779f59a17b6dd0010b9eb)
它总是
的闭合子空间。它也有类似的双重补性质。
现在是
的子空间(它同一于
)。但是自反空间有在
和
之间的自然同构
。在这种情况下我们有
![{\displaystyle i{\overline {W}}=W^{\bot \,\bot }.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f56c787902d201cbf7025b1ff05b401446833bc6)
这是哈恩-巴拿赫定理的直接推论。