诺特群

在群论中，诺特群(英語：Noetherian group)是指群使得其子群满足升链条件。

定义

设$G$是一个群。那么以下条件等价，满足此条件的群称为诺特群。

• $G$的子群格 $\operatorname {Sub} (G)$满足升链条件。
• $G$的所有子群都是有限生成群。

性质

关于诸运算的封闭性

诺特群的子群以及商群是诺特群。诺特群被诺特群的扩张仍是诺特群。

诺特可解群

对于群$G$，以下条件等价。

• $G$是可解群，并且是诺特群。
• 存在$G$的子群列$1=G_{0}\vartriangleleft G_{1}\vartriangleleft \cdots \vartriangleleft G_{n}=G$，使得对于每个$i=0,\dots ,n-1$有$G_{i}\vartriangleleft G_{i+1}$且$G_{i+1}/G_{i}$是循环群。

满足这个条件的群称为多循环群。

对于幂零群$G$，以下条件等价。

• $G$是诺特群。
• $G$是有限生成群。

例

所有有限群都是诺特群。所有有限生成幂零群是多循环群从而是诺特群。

多循环群被有限群的扩张是诺特群。其逆不成立，也就是说一个诺特群可能不具有指数有限的多循环正规子群。但这样的反例的构造是相当复杂的。

历史

诺特群的名称取自埃米·诺特。不是多循环群被有限群的扩张的诺特群由亚历山大·奥利尚斯基在一篇1979年论文中首次构造。

外部链接

• Hazewinkel, Michiel (编), Noetherian group, 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4 
• Hazewinkel, Michiel (编), Polycyclic group, 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4 
• Noetherian group. Groupprops. [2022-12-20]. （原始内容存档于2022-12-06） （英语）. 
• Polycyclic group. Groupprops. [2022-12-20]. （原始内容存档于2022-12-20） （英语）.