优环

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交换代数中,尤其在代数几何的应用中,优环(法文:anneau excellent、英文:excellent ring)是一类性质与完备局部环相近的交换诺特环。这类环首先由亚历山大·格罗滕迪克定义。

代数几何与数论中出现的诺特环通常都是优环,此外优环也与奇点消解相关;广中平祐在1964年证明了特征为零时的奇点消解定理。

定义[编辑]

以下所论之环皆假定为么交换环。

  • 一个包含域 的环 被称作在 上是几何正则的,当且仅当对任何有限扩张 ,环 都是正则的。
  • 一个环同态 被称作是正则的,当且仅当它是平坦的,且对任何 其纤维 在剩余域 上几何正则。
  • 一个环 被称作 G-环(或格罗滕迪克环),当且仅当它是诺特环,且所有的形式纤维都是几何正则的;第二个条件意谓:对任何 ,环同态
是正则的。
  • 一个环 被称作是拟优环,当且仅当它是个 G-环,且对任意有限生成的 -代数 的奇点集是闭的。
  • 一个优环是一个泛链的拟优环。

实际应用中的诺特环几乎都是泛链的,因此拟优环与优环几无差别。

若一个局部诺特概形 上有开覆盖 ,使得每个 都是优环的,则称 优概形

优环的例子[编辑]

  • 完备局部诺特环,包括域。
  • 特征为零的戴德金环,包括整数环
  • 上的收敛幂级数环。
  • 优环的局部化仍为优环。
  • 优环上的有限生成代数仍为优环。

以下将给出一个特征 的一维局部正则环而非优环的例子。设 是一个特征 p 的域,,令 ,更令

有非几何正则的的形式纤维,故非优环。

凡拟优环皆为永田雅宜环

优概形与拟优概形[编辑]

如果一个概形 有仿射开覆盖 ,使得每个 都是优环的,则称 优概形。此条件一旦对某个仿射开覆盖满足,则被所有仿射开覆盖满足。

拟优概形的定义类此。

奇点解消[编辑]

拟优环与奇点解消问题关系密切,这似乎也是格罗滕迪克定义拟优环的动机。格罗滕迪克在 1965 年观察到:若能在所有完备的局部诺特整环中消解奇点,则在所有既约的拟优环中亦然。广中平祐在1964年证明了:特征为零时,完备局部诺特整环中皆可消解奇点。因此在特征为零的域上,凡优环皆可消解奇点。反之,若能在诺特环 上的所有有限生成整代数上消解奇点,则 是拟优环。

文献[编辑]