弛缓 (核磁共振)

弛缓或译作弛豫，在核磁共振(NMR)现象学上，针对磁化强度的演化分成两个面向：

• 纵向弛缓：磁化强度M平行主磁场(B₀，所指方向习惯定为正z方向)的分量——常标作z分量M_z——回复至热平衡值M₀的过程。涉及到的时间常数为T₁。

$M_{z}(t)=M_{0}-e^{-t/T_{1}}\cdot [M_{0}-M_{z}(t=0)]\,$

• 横向弛缓：磁化强度M垂直主磁场的分量——常标作x-y平面分量M_xy，或横分量M_T，或垂直分量$M_{\perp }$——衰减到零的过程。涉及到的时间常数为T₂。

$M_{xy}(t)=e^{-t/T_{2}}\cdot M_{xy}(t=0)\,$

局部磁场不均匀

另外因为主磁场的局部不均匀，导致体积元素(voxel)内失相(dephase)，使得x-y平面上实际的讯号衰减速度远快于T₂时间衰减。

$M_{xy}(t)=e^{-t/T_{2}^{*}}\cdot M_{xy}(t=0);\,$

$T_{2}^{*}<<T_{2}\,$

如此对应的横向弛缓时间常数为T₂^*，其值远小于T₂，两者关系为：

${\frac {1}{T_{2}^{*}}}={\frac {1}{T_{2}}}+\gamma \Delta B_{0}$

其中γ为旋磁比；ΔB₀表示局部磁场不均匀的强度差值。

常见人体组织弛缓时间常数值表

以下为常见健康人体组织的两个弛缓时间常数大概数值，仅供参考。　

1.5特斯拉主磁场之下

组织类型	T1（大约值，毫秒）	T2（大约值，毫秒）
脂肪组织	240-250	60-80
全血（缺氧血）	1350	50
全血（带氧血）	1350	200
脑脊髓液（类似纯水）	2200-2400	500-1400
大脑灰质	920	100
大脑白质	780	90
肝	490	40
肾	650	60-75
肌肉	860-900	50

微观解释

1948年由三位学者尼可拉斯·布伦柏根(Nicolaas Bloembergen)、爱德华·珀塞尔(Edward Purcell)、庞德(R. V. Pound)提出Bloembergen-Purcell-Pound理论(简称BPP理论^[1])，对纯物质的弛缓常数T₁、T₂数值随物质状态变动，从固相到液相都能成功解释。这项理论采取了分子滚动(tumbling)对于电磁场局域扰动的影响。

从这理论所得到的T₁、T₂结果为：

 ${\frac {1}{T_{1}}}=K[{\frac {\tau _{c}}{1+\omega _{0}^{2}\tau _{c}^{2}}}+{\frac {4\tau _{c}}{1+4\omega _{0}^{2}\tau _{c}^{2}}}]$
 ${\frac {1}{T_{2}}}={\frac {K}{2}}[3\tau _{c}+{\frac {5\tau _{c}}{1+\omega _{0}^{2}\tau _{c}^{2}}}+{\frac {2\tau _{c}}{1+4\omega _{0}^{2}\tau _{c}^{2}}}]$

其中$\omega _{0}$是拉莫频率，对应于主磁场强度$B_{0}$；$\tau _{c}$即为分子滚动相关的“关联时间”。$K={\frac {3\mu ^{2}}{160\pi ^{2}}}{\frac {\hbar ^{2}\gamma ^{4}}{r^{6}}}$为常数——μ是自旋1/2原子核的磁矩强度，π是圆周率，$\hbar ={\frac {h}{2\pi }}$为约化普朗克常数，γ是旋磁比，r是两个带有磁矩的原子核的间距。

以不含氧17的液态纯水中水分子为例，K的值为1.02×10¹⁰ 秒^-2，关联时间$\tau _{c}$的尺度大概是1 皮秒=$10^{-12}$ 秒，设以5×10^-12 秒来计算；而氢核(质子)在1.5特斯拉的主磁场底下的拉莫频率约为64 兆赫，故可以估算：

$\omega _{0}\tau _{c}=3.2\times 10^{-5}$(无因次)

$T_{1}=(1.02\times 10^{10}[{\frac {5\times 10^{-12}}{1+(3.2\times 10^{-5})^{2}}}+{\frac {4\cdot 5\times 10^{-12}}{1+4\cdot (3.2\times 10^{-5})^{2}}}])^{-1}$= 3.92 秒

$T_{2}=({\frac {1.02\times 10^{10}}{2}}[3\cdot 5\times 10^{-12}+{\frac {5\cdot 5\times 10^{-12}}{1+(3.2\times 10^{-5})^{2}}}+{\frac {2\cdot 5\times 10^{-12}}{1+4\cdot (3.2\times 10^{-5})^{2}}}])^{-1}$= 3.92 秒

和实验所得的3.6秒相当接近。此外可以看到在此极限之下，T₁会和T₂相等。

参考文献

1. ^ BPP理论：N. Bloembergen, E.M. Purcell, R.V. Pound "Relaxation Effects in Nuclear Magnetic Resonance Absorption" Physical Review (1948) v73. 7:679-746