有理映射

在代数几何中，有理映射是定义在概形的稠密开集上的态射。有理映射及由此引生的双有理等价是古典代数几何学的主要对象。

定义

固定概形 $V,W$ 。考虑所有的资料 $(U,f)$ ，其中 $U\subset V$ 是稠密开集，而 $f:U\to W$ 是态射；这些资料代表了 $U$ 上“部分定义”的态射， $U$ 代表 $f$ 的定义域。定义下述等价关系：

(U,f)\sim (U',g)\iff f|_{U\cap U'}=g|_{U\cap U'}

此外，注意到稠密性保证 $U\cap U'$ 也是 $V$ 中的稠密开集。当 $V$ 不可约，则所有非空开集都是稠密的。若再假设 $V$ 既约而 $W$ 是分离概形，则任一等价类有唯一一个定义域最大的代表元。

从概形 $V$ 到 $W$ 的有理映射 $f$ 是其中的一个等价类 $[U,f]$ 。

若 $f$ 是从 $U$ 到 $V$ ， $g$ 是从 $V$ 到 $W$ 的有理映射，则一般并不能定义其合成 $g\circ f$ 。但是当 $f$ 的像（对某个，因而对每个代表元 $(U_{0},f_{U_{0}})$ ）在 $V$ 中稠密时，对每个 $g$ 的代表元 $(V_{0},g_{V_{0}})$ ， $f_{U_{0}}(U_{0})\cap V_{0}$ 皆非空，此时可以定义 $g\circ f:=[f_{U_{0}}^{-1}(V_{0}),g_{V_{0}}\circ f_{U_{0}}]$ 。

同理，若 $V$ 与 $W$ 都是 $S$ 上的概形，也可以类似地定义 $S$ -有理映射。

例子

设 $k$ 为整环，设 $V:=\mathbb {A} _{k}^{n}$ 、 $W:=\mathbb {A} _{k}^{m}$ ，则从 $V$ 到 $W$ 的任何有理映射 $f$ 有唯一的表法：

f=\left({\dfrac {f_{1}(x_{1},\ldots ,x_{n})}{g_{1}(x_{1},\ldots ,x_{n})}},\ldots ,{\dfrac {f_{m}(x_{1},\ldots ,x_{n})}{g_{m}(x_{1},\ldots ,x_{n})}}\right)

其中 $f_{i},g_{i}$ 是多项式。该有理映射可以在 $\mathbb {A} _{k}^{n}\setminus \bigcup _{i}\{g_{i}=0\}$ 上定义。

此外，对于不可约 $k$ -概形 $X$ ，其上的有理函数一一对应到从 $X$ 到 $\mathbb {P} _{k}^{1}$ 的有理映射。

优势映射与双有理等价

之前考虑合成问题时，曾利用像的稠密性条件；满足该条件的有理映射称为优势映射。由于优势映射可以作合成，定义从概形 $V$ 到 $W$ 的双有理等价为一个优势映射 $f$ ，使得存在另一个从 $W$ 到 $V$ 的优势映射 $g$ ，使 $f\circ g=\mathrm {id} _{W}$ 、 $g\circ f=\mathrm {id} _{V}$ 。

以下考虑域 $k$ 上的不可约代数簇及其间的 $k$ -有理映射。有理映射的地位在于：透过有理函数的“拉回”运算，代数簇之间的优势映射对应到函数域之间的映射，而双有理等价对应到函数域的同构。由此可知代数簇的双有理等价范畴等价于函数域的反范畴。

双有理等价的例子

双有理等价的定义较同构宽，因为我们容许态射在某维度较低的闭集上未定义。一个例子是 $\mathbb {P} _{k}^{2}$ 与 $X:xy-wz=0\subset \mathbb {P} _{k}^{3}$ ，两者双有理等价，而并不同构。原因如下： $\mathbb {P} _{k}^{2}$ 中的任两条闭曲线都有交点，而在 $X$ 中， $w=x=0$ 与 $y=z=0$ 不相交，因而 $X$ 与 $\mathbb {P} _{k}^{2}$ 并不同构。

另一方面， $X$ 的函数域可以在仿射开集 $w\neq 0$ 上计算，此开集的座标环是 $k[x,y,z]/(xy-z)\simeq k[x,y]$ ，其函数域是 $k(x,y)$ ；这也是 $\mathbb {P} _{k}^{2}$ 的函数域，于是二者双有理等价。若细审上述论证，事实上能写出所求双有理等价的式子。

参见

双有理几何

文献

Grothendieck, Alexandre; Jean Dieudonné. Éléments de géométrie algébrique 2nd edition. Berlin; New York: Springer-Verlag. 1971. ISBN 978-3-540-05113-8 （法语）.
Hartshorne, Robin. Algebraic Geoemtry. Berlin; New York: Springer-Verlag. 1977. ISBN 978-0-387-90244-9 （英语）.