有理映射

维基百科,自由的百科全书
跳到导航 跳到搜索

代数几何中,有理映射是定义在概形的稠密开集上的态射。有理映射及由此引生的双有理等价是古典代数几何学的主要对象。

定义[编辑]

固定概形 。考虑所有的资料 ,其中 是稠密开集,而 是态射;这些资料代表了 上“部份定义”的态射, 代表 的定义域。定义下述等价关系:

此外,注意到稠密性保证 也是 中的稠密开集。当 不可约,则所有非空开集都是稠密的。若再假设 既约而 分离概形,则任一等价类有唯一一个定义域最大的代表元。

从概形 有理映射 是其中的一个等价类

是从 是从 的有理映射,则一般并不能定义其合成 。但是当 的像(对某个,因而对每个代表元 )在 中稠密时,对每个 的代表元 皆非空,此时可以定义

同理,若 都是 上的概形,也可以类似地定义 -有理映射。

例子[编辑]

整环,设 ,则从 的任何有理映射 有唯一的表法:

其中 是多项式。该有理映射可以在 上定义。

此外,对于不可约 -概形 ,其上的有理函数一一对应到从 的有理映射。

优势映射与双有理等价[编辑]

之前考虑合成问题时,曾利用像的稠密性条件;满足该条件的有理映射称为优势映射。由于优势映射可以作合成,定义从概形 双有理等价为一个优势映射 ,使得存在另一个从 的优势映射 ,使

以下考虑 上的不可约代数簇及其间的 -有理映射。有理映射的地位在于:透过有理函数的“拉回”运算,代数簇之间的优势映射对应到函数域之间的映射,而双有理等价对应到函数域的同构。由此可知代数簇的双有理等价范畴等价于函数域的反范畴。

双有理等价的例子[编辑]

双有理等价的定义较同构宽,因为我们容许态射在某维度较低的闭集上未定义。一个例子是 ,两者双有理等价,而并不同构。原因如下: 中的任两条闭曲线都有交点,而在 中, 不相交,因而 并不同构。

另一方面,函数域可以在仿射开集 上计算,此开集的座标环是 ,其函数域是 ;这也是 的函数域,于是二者双有理等价。若细审上述论证,事实上能写出所求双有理等价的式子。

参见[编辑]

文献[编辑]

  • Grothendieck, Alexandre; Jean Dieudonné. Éléments de géométrie algébrique 2nd edition. Berlin; New York: Springer-Verlag. 1971. ISBN 978-3-540-05113-8 (法语). 
  • Hartshorne, Robin. Algebraic Geoemtry. Berlin; New York: Springer-Verlag. 1977. ISBN 978-0-387-90244-9 (英语).