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特定指数的费马大定理的证明

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费马大定理完整证明是一个艰深的过程,但是,对于某些特定指数n,其证明并不算十分复杂,因此在此展示费马大定理的特例证明。

n=4

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证明没有全不为0的整数解。

预备知识

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假设x,y,z是满足的一组互质的整数解,那么存在互质的整数a,b,使得

证明过程

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假设(x,y,z)为方程一个解并且x,y互质,y为偶数,则,其中,a、b互质,a、b的奇偶性相反。由得a必定是奇数,b必定是偶数。

另外,亦得,再从此得,其中,c、d互质,c、d的奇偶性相反。

最后有,由此得c、d和为平方数。于是可设,即。换句话说,(e,f,g)为方程的另外一个解。但是,。就是说如果我们从一个z值出发,必定可以找到一个更小的数值 g,使它仍然满足方程。如此类推,我们可以找到一个比g更小的数值,同时满足上式。但是,这是不可能的!因为z为一有限值,这个数值不能无穷地递降下去!由此可知我们最初的假设不正确。

所以,方程没有正整数解。