直接推理

直接推理是日常语言和亚里士多德的词项逻辑中常见的基本推理形式。不同于从两个直言命题得出一个直言命题的直言三段论，它从一个直言命题得出另一个直言命题，所以被称为是直接的^[1] 。在传统逻辑中主要有换质法（Obversion）、换位法（Conversion）和对置法（Contraposition）。

对立四边形[编辑]

直言命题的四种类型的谓词逻辑表示：

全称肯定命题（A）： $\forall x(S(x)\rightarrow P(x))$ ，所有S是P
全称否定命题（E）： $\forall x(S(x)\rightarrow \lnot P(x))$ ，所有S不是P
特称肯定命题（I）： $\exists x(S(x)\land P(x))$ ，有些S是P
特称否定命题（O）： $\exists x(S(x)\land \lnot P(x))$ ，有些S不是P

依据全称量词和存在量词之间的对偶关系（对立四边形中矛盾关系）可以直接得出：

全称肯定命题（A）： $\lnot \exists x(S(x)\land \lnot P(x))$ ，没有S不是P
全称否定命题（E）： $\lnot \exists x(S(x)\land P(x))$ ，没有S是P
特称肯定命题（I）： $\lnot \forall x(S(x)\rightarrow \lnot P(x))$ ，并非所有S不是P
特称否定命题（O）： $\lnot \forall x(S(x)\rightarrow P(x))$ ，并非所有S是P

上面加粗表述是亚里士多德《解释篇》中采用的形式。

假定了主词对应的范畴确有个体存在之后可得出蕴涵关系（又译差等关系）：

全称肯定命题（A）蕴涵了特称肯定命题（I）： $\exists xS(x)\land \forall x(S(x)\rightarrow P(x))\Rightarrow \exists x(S(x)\land P(x))$
全称否定命题（E）蕴涵了特称否定命题（O）： $\exists xS(x)\land \forall x(S(x)\rightarrow \lnot P(x))\Rightarrow \exists x(S(x)\land \lnot P(x))$

在蕴涵关系和对偶关系之上可确立全称命题间不同真关系（又译反对关系）：

全称肯定命题（A）为真则全称否定命题（E）为假： $\exists xS(x)\land \forall x(S(x)\rightarrow P(x))\Rightarrow \lnot \forall x(S(x)\rightarrow \lnot P(x))$
全称否定命题（E）为真则全称肯定命题（A）为假： $\exists xS(x)\land \forall x(S(x)\rightarrow \lnot P(x))\Rightarrow \lnot \forall x(S(x)\rightarrow P(x))$

和特称命题之间的不同假关系（又译下反对关系）：

特称肯定命题（I）为假则特称否定命题（O）为真： $\exists xS(x)\land \lnot \exists x(S(x)\land P(x))\Rightarrow \exists x(S(x)\land \lnot P(x))$
特称否定命题（O）为假则特称肯定命题（I）为真： $\exists xS(x)\land \lnot \exists x(S(x)\land \lnot P(x))\Rightarrow \exists x(S(x)\land P(x))$

换位法[编辑]

换位法对调主词和谓词的位置（采用谓词逻辑就没有了传统的主词谓词差别）：

全称肯定命题（A）蕴涵特称肯定命题（I）： $\exists xS(x)\land \forall x(S(x)\rightarrow P(x))\Rightarrow \exists x(P(x)\land S(x))$ ，有些P是S(假定了某个S的存在)
全称否定命题（E）： $\forall x(P(x)\rightarrow \lnot S(x))$ ，所有P不是S
特称肯定命题（I）： $\exists x(P(x)\land S(x))$ ，有些P是S

换质法[编辑]

换质法否定谓词本身而改变命题的性质，这里有 $A^{\complement \complement }=A\,$ ：

全称肯定命题（A）变为全称否定命题（E）： $\forall x(S(x)\rightarrow \lnot P^{\complement }(x))$ ，所有S不是非P
全称否定命题（E）变为全称肯定命题（A）： $\forall x(S(x)\rightarrow P^{\complement }(x))$ ，所有S是非P
特称肯定命题（I）变为特称否定命题（O）： $\exists x(S(x)\land \lnot P^{\complement }(x))$ ，有些S不是非P
特称否定命题（O）变为特称肯定命题（I）： $\exists x(S(x)\land P^{\complement }(x))$ ，有些S是非P

对置法[编辑]

对置法是换质后换位：

全称肯定命题（A）变为全称否定命题（E）： $\forall x(P^{\complement }(x)\rightarrow \lnot S(x))$ ，所有非P不是S
全称否定命题（E）蕴涵特称肯定命题（I）： $\exists xS(x)\land \forall x(S(x)\rightarrow P^{\complement }(x))\Rightarrow \exists x(P^{\complement }(x)\land S(x))$ ，有些非P是S(假定了某个S的存在)
特称否定命题（O）变为特称肯定命题（I）： $\exists x(P^{\complement }(x)\land S(x))$ ，有些非P是S

特称肯定命题（I）变为特称否定命题（O）后不能换位。

对置后再换质叫反对置法（Obverted Contraposition）：

全称肯定命题（A）变为全称肯定命题（A）： $\forall x(P^{\complement }(x)\rightarrow S^{\complement }(x))$ ，所有非P是非S
全称否定命题（E）蕴涵特称否定命题（O）： $\exists xS(x)\land \forall x(S(x)\rightarrow P^{\complement }(x))\Rightarrow \exists x(P^{\complement }(x)\land \lnot S^{\complement }(x))$ ，有些非P不是非S(假定了某个S的存在)
特称否定命题（O）变为特称否定命题（O）： $\exists x(P^{\complement }(x)\land \lnot S^{\complement }(x))$ ，有些非P不是非S

参见[编辑]

引用[编辑]

^ Churchill, Robert Paul. Logic: An Introduction 2nd. New York: St. Martin's Press. 1990: 162. ISBN 0-312-02353-7. OCLC 21216829. Immediate inference is the assumption, without intervening—or 'mediating'—premises, that because one categorical statement is true (or false), a logically equivalent categorical statement must also be true (or false).

[1] Churchill, Robert Paul. Logic: An Introduction 2nd. New York: St. Martin's Press. 1990: 162. ISBN 0-312-02353-7. OCLC 21216829. Immediate inference is the assumption, without intervening—or 'mediating'—premises, that because one categorical statement is true (or false), a logically equivalent categorical statement must also be true (or false).

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