直接推理

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直接推理（immediate inference），是日常語言和亞里斯多德的詞項邏輯中常見的基本推理形式。不同於從兩個直言命題得出一個直言命題的直言三段論，它從一個直言命題得出另一個直言命題，所以被稱為是直接的^[1] 。在傳統邏輯中主要有換質法（Obversion）、換位法（Conversion）、對置法（Contraposition）和反對置法（Obverted Contraposition）。

對立四邊形[編輯]

直言命題的四種類型的謂詞邏輯表示：

全稱肯定命題（A）： $\forall x(S(x)\rightarrow P(x))$ ，所有S是P。
全稱否定命題（E）： $\forall x(S(x)\rightarrow \lnot P(x))$ ，所有S不是P。
特稱肯定命題（I）： $\exists x(S(x)\land P(x))$ ，有些S是P。
特稱否定命題（O）： $\exists x(S(x)\land \lnot P(x))$ ，有些S不是P。

全稱肯定命題和特稱否定命題之間以及全稱否定命題和特稱肯定命題之間是矛盾關係：

\forall x(S(x)\rightarrow P(x))\land \exists x(S(x)\land \lnot P(x))\implies \exists x((\lnot P(x))\land P(x))\implies \bot

。

\forall x(S(x)\rightarrow \lnot P(x))\land \exists x(S(x)\land P(x))\implies \exists x(P(x)\land \lnot P(x))\implies \bot

。

從矛盾關係可以直接得出全稱量詞和存在量詞之間的對偶關係：

全稱肯定命題（A）： $\forall x(S(x)\rightarrow P(x))\iff \lnot \exists x(S(x)\land \lnot P(x))$ ，沒有S不是P。
全稱否定命題（E）： $\forall x(S(x)\rightarrow \lnot P(x))\iff \lnot \exists x(S(x)\land P(x))$ ，沒有S是P。
特稱肯定命題（I）： $\exists x(S(x)\land P(x))\iff \lnot \forall x(S(x)\rightarrow \lnot P(x))$ ，並非所有S不是P。
特稱否定命題（O）： $\exists x(S(x)\land \lnot P(x))\iff \lnot \forall x(S(x)\rightarrow P(x))$ ，並非所有S是P。

四種直言命題的上述加粗表述，是亞里斯多德《解釋篇》中採用的表述形式。

全稱肯定命題和全稱否定命題二者如果並立，就會在主詞對應的範疇確有個體存在之時產生矛盾，它們之間是反對關係：

\forall x(S(x)\rightarrow P(x))\land \forall x(S(x)\rightarrow \lnot P(x))\implies \forall x(S(x)\rightarrow (P(x)\land \lnot P(x)))\implies \forall x(S(x)\rightarrow \bot )

。

\exists xS(x)\land \forall x(S(x)\rightarrow \bot )\implies \bot

。

全稱命題和特稱命題之間是有條件的蘊涵關係：

全稱肯定命題（A），在主詞對應的範疇確有個體存在的條件下，蘊涵特稱肯定命題（I）：
$\exists xS(x)\land \forall x(S(x)\rightarrow P(x))\implies \exists x(S(x)\land S(x))\land \forall x(S(x)\rightarrow P(x))\implies \exists x(S(x)\land P(x))$ 。
全稱否定命題（E），在主詞對應的範疇確有個體存在的條件下，蘊涵特稱否定命題（O）：
$\exists xS(x)\land \forall x(S(x)\rightarrow \lnot P(x))\implies \exists x(S(x)\land S(x))\land \forall x(S(x)\rightarrow \lnot P(x))\implies \exists x(S(x)\land \lnot P(x))$ 。

全稱肯定命題蘊涵特稱肯定命題，在亞里斯多德《前分析篇》中用於建立特定的三段論形式，即AAI-3和EAO-3。

蘊涵關係和對偶關係，將全稱命題之間的反對關係體現爲：

如果全稱肯定命題（A）為真，並且主詞對應的範疇確有個體存在，則全稱否定命題（E）為假： $\exists xS(x)\land \forall x(S(x)\rightarrow P(x))\implies \lnot \forall x(S(x)\rightarrow \lnot P(x))$ 。
如果全稱否定命題（E）為真，並且主詞對應的範疇確有個體存在，則全稱肯定命題（A）為假： $\exists xS(x)\land \forall x(S(x)\rightarrow \lnot P(x))\implies \lnot \forall x(S(x)\rightarrow P(x))$ 。

還確立了特稱命題之間的下反對關係：

如果特稱肯定命題（I）為假，並且主詞對應的範疇確有個體存在，則特稱否定命題（O）為真： $\exists xS(x)\land \lnot \exists x(S(x)\land P(x))\implies \exists x(S(x)\land \lnot P(x))$ 。
如果特稱否定命題（O）為假，並且主詞對應的範疇確有個體存在，則特稱肯定命題（I）為真： $\exists xS(x)\land \lnot \exists x(S(x)\land \lnot P(x))\implies \exists x(S(x)\land P(x))$ 。

在主詞對應的範疇沒有個體存在之時：全稱肯定命題（A）和全稱否定命題（E）都爲真；主詞非空的前提爲假，它與這兩個全稱命題的合取都爲假；特稱肯定命題（I）和特稱否定命題（O）都為假。在主詞對應的範疇有1個個體存在之時：要麼全稱肯定命題（A）和特稱肯定命題（I）都爲真，而全稱否定命題（E）和特稱否定命題（O）都為假；要麼全稱肯定命題（A）和特稱肯定命題（I）都爲假，而全稱否定命題（E）和特稱否定命題（O）都為真。隨著這個範疇中個體數量增加，可能保持這種並立狀態，也可能轉變並保持為：全稱肯定命題（A）和全稱否定命題（E）都爲假，特稱肯定命題（I）和特稱否定命題（O）都為真。

換位法[編輯]

換位法對調主詞和謂詞的位置：

全稱肯定命題（A），在主詞對應的範疇確有個體存在的條件下，蘊涵特稱肯定命題（I）： $\exists xS(x)\land \forall x(S(x)\rightarrow P(x))\implies \exists x(P(x)\land S(x))$ ，有些P是S（假定了某些S的存在）。
全稱否定命題（E）： $\forall x(S(x)\rightarrow \lnot P(x))\iff \forall x(P(x)\rightarrow \lnot S(x))$ ，所有P不是S。
特稱肯定命題（I）： $\exists x(S(x)\land P(x))\iff \exists x(P(x)\land S(x))$ ，有些P是S。

換質法[編輯]

換質法否定謂詞本身而改變命題的性質，這裡有 $\lnot A^{\complement }\iff A$ ：

全稱肯定命題（A）變為全稱否定命題（E）： $\forall x(S(x)\rightarrow P(x))\iff \forall x(S(x)\rightarrow \lnot P^{\complement }(x))$ ，所有S不是非P。
全稱否定命題（E）變為全稱肯定命題（A）： $\forall x(S(x)\rightarrow \lnot P(x))\iff \forall x(S(x)\rightarrow P^{\complement }(x))$ ，所有S是非P。
特稱肯定命題（I）變為特稱否定命題（O）： $\exists x(S(x)\land P(x))\iff \exists x(S(x)\land \lnot P^{\complement }(x))$ ，有些S不是非P。
特稱否定命題（O）變為特稱肯定命題（I）： $\exists x(S(x)\land \lnot P(x))\iff \exists x(S(x)\land P^{\complement }(x))$ ，有些S是非P。

對置法[編輯]

對置法是換質後再換位：

全稱肯定命題（A） $\forall x(S(x)\rightarrow P(x))$ ，變為全稱否定命題（E）： $\forall x(S(x)\rightarrow \lnot P^{\complement }(x))\iff \forall x(P^{\complement }(x)\rightarrow \lnot S(x))$ ，所有非P不是S。
全稱否定命題（E） $\forall x(S(x)\rightarrow \lnot P(x))$ ，在主詞對應的範疇確有個體存在的條件下，蘊涵特稱肯定命題（I）： $\exists xS(x)\land \forall x(S(x)\rightarrow P^{\complement }(x))\implies \exists x(P^{\complement }(x)\land S(x))$ ，有些非P是S（假定了某些S的存在）。
特稱否定命題（O） $\exists x(S(x)\land \lnot P(x))$ ，變為特稱肯定命題（I）： $\exists x(S(x)\land P^{\complement }(x))\iff \exists x(P^{\complement }(x)\land S(x))$ ，有些非P是S。

特稱肯定命題（I）換質為特稱否定命題（O）後不能換位。對置全稱肯定命題（A）和對置特稱否定命題（O），可以分別是三段論形式AOO-2和OAO-3的推導中的起始步驟。

反對置法[編輯]

反對置法是對置後再換質：

全稱肯定命題（A） $\forall x(S(x)\rightarrow P(x))$ ，變為全稱肯定命題（A）： $\forall x(P^{\complement }(x)\rightarrow \lnot S(x))\iff \forall x(P^{\complement }(x)\rightarrow S^{\complement }(x))$ ，所有非P是非S。
全稱否定命題（E） $\forall x(S(x)\rightarrow \lnot P(x))$ ，在主詞對應的範疇確有個體存在的條件下，蘊涵特稱否定命題（O）： $\exists xS(x)\land \forall x(S(x)\rightarrow P^{\complement }(x))\implies \exists x(P^{\complement }(x)\land S(x))\implies \exists x(P^{\complement }(x)\land \lnot S^{\complement }(x))$ ，有些非P不是非S（假定了某些S的存在）。
特稱否定命題（O） $\exists x(S(x)\land \lnot P(x))$ ，變為特稱否定命題（O）： $\exists x(P^{\complement }(x)\land S(x))\iff \exists x(P^{\complement }(x)\land \lnot S^{\complement }(x))$ ，有些非P不是非S。

參見[編輯]

引用[編輯]

^ Churchill, Robert Paul. Logic: An Introduction 2nd. New York: St. Martin's Press. 1990: 162. ISBN 0-312-02353-7. OCLC 21216829. Immediate inference is the assumption, without intervening—or 'mediating'—premises, that because one categorical statement is true (or false), a logically equivalent categorical statement must also be true (or false).

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