超越三角函数

超越三角函数是自然对数的一种延伸，也是欧拉公式的扩充，其中每个超越三角函数都违反原来对三角函数的定义。

超越单位三角函数

由李昂哈德·欧拉对复数的定义得知：

$e^{ix}=\cos(x)+i\sin(x)\,$

当$x=ln(i),$时，得知：

$i^{i}=\cos ln(i)+i\sin ln(i)\,$

$i^{-i}=\cos ln(i)-i\sin ln(i)\,$

再因为

$e^{i\pi }=-1\,$

=>$e^{\frac {i\pi }{2}}=i\,$

=>$e^{\frac {\pi }{2}}=i^{-i}\,$

所以得出下列结论：

$i^{i}=e^{\frac {-\pi }{2}}=\cos ln(i)+i\sin ln(i)\,$

$i^{-i}=e^{\frac {\pi }{2}}=\cos ln(i)-i\sin ln(i)\,$

解联立方程解得

$cos[ln(i)]={\frac {exp({\frac {\pi }{2}})+exp({\frac {-\pi }{2}})}{2}}$

$sin[ln(i)]={\frac {exp({\frac {\pi }{2}})-exp({\frac {-\pi }{2}})}{2}}i$

发现$cosln(i)$明显超越了1，这代表了斜边比邻边还短，违反了当初对实数系的三角函数的定义域，所以这称为对虚数系的三角函数

超越三角函数

延伸后可得：

$cos[xln(i)]={\frac {exp({\frac {x\pi }{2}})+exp({\frac {-x\pi }{2}})}{2}}$

$sin[xln(i)]={\frac {exp({\frac {x\pi }{2}})-exp({\frac {-x\pi }{2}})}{2}}i$

复数悖论与数学单位形成

将超越三角函数以三度空间方式作图，X轴为自变数，Y轴为变数之实部，Z轴为变数之虚部，可以发现超越三角函数都是以4为一周期的函数图形，但是最后会发现一件怪异之处

$2ni{\pi }=0$

这对一般数学是不成立的，但是为何有合理的解释？ 如果说一般数的单位是│µ│（单位向量），欧拉对虚数的幂可见

$2ni{\pi }=0$此单位是rad‧│µ│，如此2π等同于0的意思，那悖论也就被打破了。