超越三角函数是自然对数的一种延伸,也是欧拉公式的扩充,其中每个超越三角函数都违反原来对三角函数的定义。
由李昂哈德·欧拉对复数的定义得知:
![{\displaystyle e^{ix}=\cos(x)+i\sin(x)\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b697198af2e7ace6cc64c8c6c4aca34e9860bb41)
当
时,得知:
![{\displaystyle i^{i}=\cos ln(i)+i\sin ln(i)\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/75d9c0df120fec3ed60a42ffce46ce7957620b5a)
![{\displaystyle i^{-i}=\cos ln(i)-i\sin ln(i)\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/72e061f41cd39ef311a334706e64312f25e94815)
再因为
![{\displaystyle e^{i\pi }=-1\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b514fee442a4d54d7111893bd78e342233e0e5b8)
- =>
![{\displaystyle e^{\frac {i\pi }{2}}=i\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fdeb49f1d21db3e5db4e0cf166c59beb140e524c)
- =>
![{\displaystyle e^{\frac {\pi }{2}}=i^{-i}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5702e5f001cba3e6636a588e17052448eb18f682)
所以得出下列结论:
![{\displaystyle i^{i}=e^{\frac {-\pi }{2}}=\cos ln(i)+i\sin ln(i)\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4c0f91035ccd0d0032d3b2689a164a91f1db3ca0)
![{\displaystyle i^{-i}=e^{\frac {\pi }{2}}=\cos ln(i)-i\sin ln(i)\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/122c938708b80f646a7ccff9c74426964467201b)
解联立方程解得
![{\displaystyle cos[ln(i)]={\frac {exp({\frac {\pi }{2}})+exp({\frac {-\pi }{2}})}{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/35e9effb003d6826a77a67c51e56693fae3f5b15)
![{\displaystyle sin[ln(i)]={\frac {exp({\frac {\pi }{2}})-exp({\frac {-\pi }{2}})}{2}}i}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/96ec8ccbc5af63a232dfa64ca67b748b682dc8d7)
发现
明显超越了1,这代表了斜边比邻边还短,违反了当初对实数系的三角函数的定义域,所以这称为对虚数系的三角函数
延伸后可得:
![{\displaystyle cos[xln(i)]={\frac {exp({\frac {x\pi }{2}})+exp({\frac {-x\pi }{2}})}{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/49993a51faf20f6b665837d348ea8b1092874845)
![{\displaystyle sin[xln(i)]={\frac {exp({\frac {x\pi }{2}})-exp({\frac {-x\pi }{2}})}{2}}i}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f7cb6c9c3ca04276c7d62f86b6da7f4e2bda631)
将超越三角函数以三度空间方式作图,X轴为自变数,Y轴为变数之实部,Z轴为变数之虚部,可以发现超越三角函数都是以4为一周期的函数图形,但是最后会发现一件怪异之处
![{\displaystyle 2ni{\pi }=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba3fdb8953c0dd5c9719786ce00175c6403584a1)
这对一般数学是不成立的,但是为何有合理的解释?
如果说一般数的单位是│µ│(单位向量),欧拉对虚数的幂可见
此单位是rad‧│µ│,如此2π等同于0的意思,那悖论也就被打破了。