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超越三角函数

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超越三角函数自然对数的一种延伸,也是欧拉公式的扩充,其中每个超越三角函数都违反原来对三角函数的定义。

超越单位三角函数

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李昂哈德·欧拉复数的定义得知:

时,得知:

再因为

=>
=>

所以得出下列结论:

解联立方程解得

发现明显超越了1,这代表了斜边比邻边还短,违反了当初对实数系的三角函数的定义域,所以这称为对虚数系的三角函数

超越三角函数

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延伸后可得:

复数悖论与数学单位形成

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将超越三角函数以三度空间方式作图,X轴为自变数,Y轴为变数之实部,Z轴为变数之虚部,可以发现超越三角函数都是以4为一周期的函数图形,但是最后会发现一件怪异之处

这对一般数学是不成立的,但是为何有合理的解释? 如果说一般数的单位是│µ│(单位向量),欧拉对虚数的幂可见

此单位是rad‧│µ│,如此2π等同于0的意思,那悖论也就被打破了。