超越三角函數

超越三角函數是自然對數的一種延伸，也是歐拉公式的擴充，其中每個超越三角函數都違反原來對三角函數的定義。

超越單位三角函數

由李昂哈德·歐拉對複數的定義得知：

$e^{ix}=\cos(x)+i\sin(x)\,$

當$x=ln(i),$時，得知：

$i^{i}=\cos ln(i)+i\sin ln(i)\,$

$i^{-i}=\cos ln(i)-i\sin ln(i)\,$

再因為

$e^{i\pi }=-1\,$

=>$e^{\frac {i\pi }{2}}=i\,$

=>$e^{\frac {\pi }{2}}=i^{-i}\,$

所以得出下列結論：

$i^{i}=e^{\frac {-\pi }{2}}=\cos ln(i)+i\sin ln(i)\,$

$i^{-i}=e^{\frac {\pi }{2}}=\cos ln(i)-i\sin ln(i)\,$

解聯立方程解得

$cos[ln(i)]={\frac {exp({\frac {\pi }{2}})+exp({\frac {-\pi }{2}})}{2}}$

$sin[ln(i)]={\frac {exp({\frac {\pi }{2}})-exp({\frac {-\pi }{2}})}{2}}i$

發現$cosln(i)$明顯超越了1，這代表了斜邊比鄰邊還短，違反了當初對實數係的三角函數的定義域，所以這稱為對虛數係的三角函數

超越三角函數

延伸後可得：

$cos[xln(i)]={\frac {exp({\frac {x\pi }{2}})+exp({\frac {-x\pi }{2}})}{2}}$

$sin[xln(i)]={\frac {exp({\frac {x\pi }{2}})-exp({\frac {-x\pi }{2}})}{2}}i$

複數悖論與數學單位形成

將超越三角函數以三度空間方式作圖，X軸為自變數，Y軸為變數之實部，Z軸為變數之虛部，可以發現超越三角函數都是以4為一週期的函數圖形，但是最後會發現一件怪異之處

$2ni{\pi }=0$

這對一般數學是不成立的，但是為何有合理的解釋？ 如果說一般數的單位是│µ│（單位向量），歐拉對虛數的冪可見

$2ni{\pi }=0$此單位是rad‧│µ│，如此2π等同於0的意思，那悖論也就被打破了。