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黎曼ξ函数

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复平面中的黎曼ξ函数复平面中的点,其色彩代表了该点的函数值;较暗的颜色表示其值接近于零,而色调表示了函数值的幅角

数学中,黎曼ξ函数(英语:Riemann Xi function)是黎曼ζ函数的变型,其定义是为了得到一个简单的泛函方程式。此函数得名于波恩哈德·黎曼

定义

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爱德蒙·兰道将黎曼原先小写的ξ函数以被改为大写的Ξ函数(另参见下方),而兰道的小写ξ函数则定义为:[1]

其中

兰道的小写ζ函数的泛函方程式(或称反射式英语reflection formula)为

兰道的大写Ξ函数(loc. cit., §71)为

遵守泛函方程式:

一如兰道所写(loc. cit., p. 894),Ξ函数即原先的黎曼ξ函数。

函数值

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s偶数,亦即s = 2n,ξ(s)一般式为

其中Bn为第n伯努利数

例如:

级数表示式

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其中

相关条目

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参考文献

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  1. ^ Edmund Landau. Handbuch der Lehre von der Verteilung der Primzahlen, Teubner, Leipzig 1909. Third edition Chelsea, New York, 1974, §70.