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用户:NtuEEsaber/沙盒

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雷登转换将函数 映射到
本图是将下图做雷登转换后得到的影像,越亮的区域代表值越大,黑色的区域为0。
原始函数是白色区域为1,黑色区域为0。

数学上,雷登变换是一种积分变换,这个转换将函数 转换成一个定义在二维空间上的函数,而在某线上的值等于对该条线做线积分的值,

雷登变换是Johann Radon在公元1917年提出[1],他也同时提出雷登转换的反转换公式,以及三次空间的雷登变换公式。 三次空间雷登变换,是对一个平面积分(对线积分则是X-ray transform)。而在不久之后,更高维度的欧几里得空间的雷登转换被提出,更详尽的广义雷登转换要查Integral geometry。 在复数上有和雷登转换相似的Penrose transform,雷登转换被广泛的应用在断层扫描,从断层扫描的剖面图重建出投影的资料。

简介

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若函数表示一个未知的密度,对做雷登转换,相当于得到投影后的讯号,举例来说:相当于人体组织;断层扫描的输出讯号相当于经过雷登转换的。 因此,可以用雷登反转换从投影后的密度函数,重建原始的密度函数,它也是重建断层扫描的数学理论基础,另一个被广为人知名词的是三维重建

雷登转换后的讯号称作"正弦图",因为一个偏离中心的点的雷登转换是一个正弦曲线。所以对一些小点的雷登转换,会看起来像很多不同振福、相位的正弦函数重叠在一起。

雷登转换可以应用在:X射线电脑断层扫描条码扫描器、macromolecular assemblies电子显微镜例如:病毒Reflection seismology蛋白质复合体,而且也是双曲线 偏微分方程的解。

定义

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令密度函数是一个的定义域为 的紧致台(compact support)。令为雷登转换的运算子(operator),则是一个定义在 一条在 的直线 L,它的定义如下

对于一个弧长 的线,可以把直线 变成一个参数式

是直线和原点的距离,而是垂直于的法线和轴的夹角, 接下来,我们可以把当作平面上的新座标系统,把这个座标转换带入到雷登变换得到

更进一步,我们可以把推广到,对一个紧致台(compact support)的连续函数,转换后的函数是定义在 超平面上,

对所有

是一个单位向量且属于,n维的雷登变换可以改写成定义在 上的函数

也能把仿射子空间,而这种推广雷登变换的特殊情况被广泛应用在X射线电脑断层扫描,他的做法是对一条直线积分。

与傅立叶变换的关系

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主条目:Projection-slice theorem

雷登变换和傅立叶变换之间有很强的关联性。单变数的傅立叶变换的定义是

而双变数的傅立叶变换是

把雷登转换的运算子的表记从 改成 。根据Projection-slice theorem学说,

因此一个初始函数沿着一条线倾角的二维的傅立叶变换,相当于对雷登转换做一维的傅立叶变换。这个结果可以推广到n维

对偶转换

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对偶雷登转换是雷登转换的埃尔米特伴随。令在空间上的函数,而对偶雷登转换的运算子定义为。作用在

积分的范围是所有和相交的超平面集合,而测度(measure)是集合特殊的几率测度(Probability measure), 当对着旋转时,的值不会改变

对于一个二维的雷登转换,其对偶转换是

在影像处理的文章中,对偶转换经常被称作反向传播算法(back propagation) [2], 因为

交结性质

拉普拉斯算子

这是一个旋转不变性的二阶微分算子,在空间,半径的二阶倒数(second derivative)

也是旋转不变性。 而雷登转换与其对偶转换属于交结运算子(intertwining operator),是因为

重建方法

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重建处理是指从投影影像重建一个影像,或是一个函数。重建处理是一种逆问题(inverse problem)。

雷登反转换公式

对于二维雷登转换,最常被使用的解析公式(analytical formula),是Filtered Backprojection Formula或雷登反转换公式,反转换公式为

[3]

函数满足[4],卷积核 (convolution kernel) 在一些文章中称作Ramp filter。

不适定问题 (ill-posedness)

直觉上,反转换公式应该和微分类似,。我们可以看的出来反转换公式 的行为类似微分。大致上来说,这个反转换公式把目标奇异化(singular);要如何量化雷登反转化的不适定问题 (ill-posedness)呢?首先可以写出

即是前面定义的反转换运算子,且伴随着(adjoint to)雷登转换,因此,上式变成

复数指数函数,是固有函数 (eigenfunction) , 而特征值 (eigenvalue)为的奇异值 (singular values) 是, 因为这些奇异值 (singular values)会趋近于0,所以是无界的(unbounded) [5]

参见

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注释

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  1. ^ https://en.wikipedia.org/wiki/Radon_transform#CITEREFRadon1917
  2. ^ https://en.wikipedia.org/wiki/Radon_transform#CITEREFRoerdink2001
  3. ^ http://statweb.stanford.edu/~candes/math262/Lectures/Lecture09.pdf
  4. ^ http://statweb.stanford.edu/~candes/math262/Lectures/Lecture10.pdf
  5. ^ http://statweb.stanford.edu/~candes/math262/Lectures/Lecture10.pdf

参考

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