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旋轉不變性

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數學裏,給予一個定義於內積空間函數,假若對於任意旋轉,函數的參數值可能會改變,但是函數的數值仍舊保持不變,則稱此性質為旋轉不變性(rotational invariance),或旋轉對稱性(rotational symmetry),因為函數對於旋轉具有對稱性。例如,假設以xyz-參考系的原點為固定點,任意旋轉xyz-參考系,而函數 的數值保持不變,因此,函數 對於任意旋轉具有不變性,或對於任意旋轉具有對稱性。

在物理學裏,假若物理系統的性質跟它在空間的取向無關,則這系統具有旋轉不變性。根據諾特定理,假若物理系統的作用量具有旋轉不變性,則角動量守恆

根據物理學家多年來仔細研究的結果,到目前為止,所有的物理基礎定律都具有旋轉不變性[1]

球對稱位勢範例[编辑]

哈密頓算符的旋轉不變性[编辑]

假設一個量子系統的位勢為球對稱位勢 ,其哈密頓算符 可以表示為

其中,約化普朗克常數 是質量, 是徑向距離。

現在,以 z-軸為旋轉軸,旋轉此系統的 x-軸與 y-軸 角弧,則新直角坐標 與舊直角坐標的關係式為

偏導數為

那麼,導數項目具有旋轉不變性:

由於徑向距離具有旋轉不變性:

旋轉之後,新的哈密頓算符

所以,球對稱位勢量子系統的哈密頓算符具有旋轉不變性。

角動量守恆[编辑]

假設一個量子系統的位勢為球對稱位勢 ,則哈密頓算符具有旋轉不變性。定義旋轉算符 為一個對於 z-軸的無窮小旋轉 。則正弦函數餘弦函數可以分別近似為

新直角坐標與舊直角坐標之間的關係式為

作用於波函數

其中, 是角動量的 z-分量,

所以,旋轉算符 可以表達為

假設 是哈密頓算符的能級本徵態,則

由於 只是一個虛設變數,

在做一個微小旋轉之後,

所以, 。哈密頓算符的能級本徵態 形成一組完備集 (complete set),旋轉算符和哈密頓算符的對易關係是

因此,

根據埃倫費斯特定理期望值對於時間的導數是

所以,

由於 顯性地不含時間,

總結, 不含時間, 是個運動常數。角動量的 z-分量守恆。類似地,可以導出其它分量也擁有同樣的性質。所以,整個角動量守恆。

參閱[编辑]

參考文獻[编辑]

  1. ^ 古斯, 阿蘭, The Inflationary Universe, Basic Books: pp.340, 1998, ISBN 978-0201328400 
  • Gasiorowics, Stephen. Quantum Physics (3rd ed.). Wiley. 2003. ISBN 978-0471057000. 
  • Stenger, Victor J. (2000). Timeless Reality Symmetry, Simplicity, and Multiple Universes. Prometheus Books. 特別參考第十二章。非專科性書籍。