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旋转不变性

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数学里,给予一个定义于内积空间函数,假若对于任意旋转,函数的参数值可能会改变,但是函数的数值仍旧保持不变,则称此性质为旋转不变性(rotational invariance),或旋转对称性(rotational symmetry),因为函数对于旋转具有对称性。例如,假设以xyz-参考系的原点为固定点,任意旋转xyz-参考系,而函数 的数值保持不变,因此,函数 对于任意旋转具有不变性,或对于任意旋转具有对称性。

在物理学里,假若物理系统的性质跟它在空间的取向无关,则这系统具有旋转不变性。根据诺特定理,假若物理系统的作用量具有旋转不变性,则角动量守恒

根据物理学家多年来仔细研究的结果,到目前为止,所有的物理基础定律都具有旋转不变性[1]

球对称位势范例

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哈密顿算符的旋转不变性

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假设一个量子系统的位势为球对称位势 ,其哈密顿算符 可以表示为

其中,约化普朗克常数 是质量, 是径向距离。

现在,以 z-轴为旋转轴,旋转此系统的 x-轴与 y-轴 角弧,则新直角坐标 与旧直角坐标的关系式为

偏导数为

那么,导数项目具有旋转不变性:

由于径向距离具有旋转不变性:

旋转之后,新的哈密顿算符

所以,球对称位势量子系统的哈密顿算符具有旋转不变性。

角动量守恒

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假设一个量子系统的位势为球对称位势 ,则哈密顿算符具有旋转不变性。定义旋转算符 为一个对于 z-轴的无穷小旋转 。则正弦函数余弦函数可以分别近似为

新直角坐标与旧直角坐标之间的关系式为

作用于波函数

其中, 是角动量的 z-分量,

所以,旋转算符 可以表达为

假设 是哈密顿算符的能级本征态,则

由于 只是一个虚设变数,

在做一个微小旋转之后,

所以, 。哈密顿算符的能级本征态 形成一组完备集 (complete set),旋转算符和哈密顿算符的对易关系是

因此,

根据埃伦费斯特定理期望值对于时间的导数是

所以,

由于 显性地不含时间,

总结, 不含时间, 是个运动常数。角动量的 z-分量守恒。类似地,可以导出其它分量也拥有同样的性质。所以,整个角动量守恒。

参阅

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参考文献

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  1. ^ 古斯, 阿兰, The Inflationary Universe, Basic Books: pp.340, 1998, ISBN 978-0201328400 
  • Gasiorowics, Stephen. Quantum Physics (3rd ed.). Wiley. 2003. ISBN 978-0471057000. 
  • Stenger, Victor J. (2000). Timeless Reality Symmetry, Simplicity, and Multiple Universes. Prometheus Books. 特别参考第十二章。非专科性书籍。