可及关系

可及关系是在可能世界之间的二元关系 R，它在模态逻辑的形式化/理论方面非常有用，它同样也用于知识论、形而上学和价值理论。

(命题)模态逻辑的基本概述

为了真正理解什么是可及关系，需要一些对模态逻辑基础的背景解说。出于简化的目的，我们将限制于命题模态逻辑。命题模态逻辑只是带有两个关键一元算子的传统句子逻辑: $\Box$ 意味着 "...是必然的" 和 $\Diamond$ 表示 "...是可能的"。这些算子可以附加到一个单独的句子上来形成一个新的复合句子。对于任何(简单的或复合的)句子 A，我们可以由此形成复合句子 $\Box A$ 和 $\Diamond A$ 。

现在，使用 p、q 等来表示我们语言的语句，x、y 等来表示对象，而 P、Q 等来表示谓词，我们可以写出几乎所有模态逻辑的六个基本公理:

$\Box p\leftrightarrow \lnot \Diamond \lnot p$
$\Diamond p\leftrightarrow \lnot \Box \lnot p$
$p\rightarrow \Diamond p$
$\Box (p\land q)\leftrightarrow (\Box p\land \Box q)$
$(\Box p\lor \Box q)\rightarrow \Box (p\lor q)$
$\Box (p\to q)\to (\Box p\to \Box q)$

多数其他公理关注有争议而没有达成广泛一致的模态算子。下面是其中最经常使用和讨论的:

(T)

\Box p\rightarrow p

(4)

\Box p\rightarrow \Box \Box p

(5)

\Diamond p\rightarrow \Box \Diamond p

(B)

p\rightarrow \Box \Diamond p

这里的 "(T)"、"(4)"、"(E)" 和 "(B)" 表示这些公理(或原理)的传统名字。

依据模态逻辑的传统可能世界语义，由模态算子形成的复合句子要用量化于可能世界上的方式来解释，诉诸于可及(accessibility)关系。可及关系现在可以定义为(无法解释的)关系 $R(w_{1},w_{2})\,$ ，它成立于可能世界 $w_{1}\,$ 和 $w_{2}\,$ 之间，只在可以从 $w_{1}\,$ 到达 $w_{2}\,$ 的情况下。

在形式语义中可及关系的重要性

设 w* 指示真实世界，我们还要服从可能世界语义的两个基础变换模式:

(TS)必然的 p 意味着 p 在 R(w*,w) 的所有可能世界 w 中是真的。可能的 p 意味着 p 在 R(w*,w) 的某些可能世界 w 中是真的。

要在技术/形式层面看到可及关系的能力和用途，注意下列联系成立:

公理 (T) 成立，如果可及关系 R 是自反的。如果每个世界可以访问到自身，则 A 在其中为真的任何世界都是从它可到达 A 在其中为真的一个可及世界的一个世界。

公理 (4) 成立，如果 R 是传递的。 $\Box A$ 在一个世界 w 中为真，只在从 w 可到达的所有世界 $w'$ 中 A 都为真的情况下。所以， $\Box \Box A$ 在一个世界 w 中为真，只在从 w 可到达的所有世界 $w'$ 可到达的所有世界 $w''$ 中 A 都是真的情况下。

公理(5) 成立，如果 R 是欧几里得的。 $\Diamond A$ 在一个世界 w 为真，当且仅当 A 在从 w 可到达的某个世界为真。 $\Box \Diamond A$ 在一个世界 w 为真，当且仅当对于从 w 可以达到的所有世界 $w'$ ，有从 $w'$ 可到达的一个世界 $w''$ ，A 在其中为真。如果 A 在从 w 可到达的一个世界 $w''$ 中为真，那么根据欧几里得性质从 w 可到达的所有其他世界都能达到这个世界 $w''$ ，所以对于从 w 可到达的所有世界 $w'$ ，都有 A 在其中为真的一个可到达的世界 $w''$ ，这保证了这个公理为真理。

公理 (B) 成立，如果 R 是对称的。如果 A 在一个世界 w 中为真，则在从 w 可到达的所有世界 $w'$ 中，有从 $w'$ 可到达的一个世界，A 在中为真。对称性提供从 $w'$ 可到达 w，这保证了这个公理为真理。

按大卫·刘易斯所说，结果是"旧争论让位于新争论。不再提问莫名其妙的问题，是否现实的东西必然是可能的，我们可以简单的提问: 关系 R 是对称的吗? "(刘易斯，1996)。

参见

引用

Fitelson, Brandon. Notes on "Accessibility" and Modality. 2003.
Brown, Curtis. Propositional Modal Logic: A Few First Steps. 2002.
Kripke, Saul. Naming and Necessity. Oxford. 1980.
Lewis, D.K.. Counterpart Theory and Quantified Modal Logic. Journal of Philosophy. 1968
List of Logic Systems List of most of the more popular modal logics.