在微分几何中,指数映射是微积分中定义的指数函数在任意黎曼流形上的推广。李群上的指数映射是一类重要的情形。
设
为微分流形,
为其上的仿射联络。给定任一点
。根据常微分方程的基本理论,存在切空间
中的开子集
及光滑映射
,使得:
![{\displaystyle \gamma (0,-)=p}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7f0cc5191c801f736e955a9a0f51b3058d0fa98a)
- 对每个
,映射
是测地线。
- 承上,
。
对够小的
,映射
是唯一的。定义点
的指数映射为
![{\displaystyle \exp(w)=\gamma (w,1)\quad (w\in U)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/482cbbf4b750ca8cceefa5c94508492b06cbddc4)
由于常微分方程解的存在性只是局部性的,指数映射一般不能定义在整个
上,在黎曼流形的情形,霍普夫-里诺定理给出了充要条件。此外,指数映射通常也不是满映射,而是
的一个邻域。黎曼流形上由指数映射给出的坐标系称作测地法坐标。
从几何上看,指数映射exp(p,v)是把切丛中的一个切向量v,映射到以(p,v)为初始条件的测地线从点p量起弧长等于|v|的点。
设
为李群,取定左、右不变之仿射联络,可得在整个李代数上定义的指数映射
。这是联系李代数与李群的主要工具。李群的指数映射满足下述性质:
- 若
,则
;对一般情形,左式可由 Campbell-Baker-Hausdorff 公式给出。
在群论的意义下生成
。
- 设
为李群同态,
为它在单位元处的拉回作用,则我们有一交换图
- 重要的特例是
而
(伴随作用),此时有
![{\displaystyle g(\exp X)g^{-1}=\exp(\mathrm {Ad} _{g}X)\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b76f4daa1860013e01b5d22968f1d87b63d33869)
![{\displaystyle \mathrm {Ad} _{\exp X}=\exp(\mathrm {ad} _{X})\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/52f0542937f4d8118745d1a35d17752a816cde9f)
取
,相应者便是寻常的指数函数
。取
,相应者是恒等映射
。
事实上,对复李群及任何完备域上的解析李群都能定义指数映射。
- Manfredo P. do Carmo, Riemannian Geometry, Birkhäuser (1992). ISBN 0-8176-3490-8. See Chapter 3.
- Jeff Cheeger and David G. Ebin, Comparison Theorems in Riemannian Geometry, Elsevier (1975).