指数映射 (李群)

在微分几何中，指数映射是微积分中定义的指数函数在任意黎曼流形上的推广。李群上的指数映射是一类重要的情形。

定义

设 $M$ 为微分流形，$\nabla :TM\to T^{*}M\otimes TM$ 为其上的仿射联络。给定任一点 $p\in M$。根据常微分方程的基本理论，存在切空间 $T_{p}M$ 中的开子集 $U\ni p$ 及光滑映射 $\gamma :U\times [0,2]\to M$，使得：

• $\gamma (0,-)=p$
• 对每个 $v\in U$，映射 $\gamma (v,-):[0,2]\to M$ 是测地线。
• 承上，${\frac {d}{dt}}|_{t=0}\gamma (v,t)=v$。

对够小的 $U$，映射 $\gamma$ 是唯一的。定义点 $p$ 的指数映射为

$\exp(w)=\gamma (w,1)\quad (w\in U)$

由于常微分方程解的存在性只是局部性的，指数映射一般不能定义在整个 $T_{p}M$ 上，在黎曼流形的情形，霍普夫-里诺定理给出了充要条件。此外，指数映射通常也不是满映射，而是 $p$ 的一个邻域。黎曼流形上由指数映射给出的坐标系称作测地法坐标。

从几何上看，指数映射exp(p,v)是把切丛中的一个切向量v，映射到以(p,v)为初始条件的测地线从点p量起弧长等于|v|的点。

李群的情形

设 $G$ 为李群，取定左、右不变之仿射联络，可得在整个李代数上定义的指数映射 $\exp :{\mathfrak {g}}\to g$。这是联系李代数与李群的主要工具。李群的指数映射满足下述性质：

• 若 $[X,Y]=0$，则 $\exp(X+Y)=\exp(X)\exp(Y)$；对一般情形，左式可由 Campbell-Baker-Hausdorff 公式给出。
• $\exp({\mathfrak {g}})$ 在群论的意义下生成 $G$。
• 设 $\phi \colon G\to H$ 为李群同态，$\phi _{*}$ 为它在单位元处的拉回作用，则我们有一交换图

• 重要的特例是 $G=H$ 而 $\phi =\mathrm {Ad} _{g}$（伴随作用），此时有
  • $g(\exp X)g^{-1}=\exp(\mathrm {Ad} _{g}X)\,$
  • $\mathrm {Ad} _{\exp X}=\exp(\mathrm {ad} _{X})\,$

取 $G=(\mathbb {R} ^{\times },\cdot )$，相应者便是寻常的指数函数 $x\mapsto e^{x}$。取 $G=(\mathbb {R} ^{n},+)$，相应者是恒等映射 $\mathrm {id} :\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}$。

事实上，对复李群及任何完备域上的解析李群都能定义指数映射。

文献

• Manfredo P. do Carmo, Riemannian Geometry, Birkhäuser (1992). ISBN 0-8176-3490-8. See Chapter 3.
• Jeff Cheeger and David G. Ebin, Comparison Theorems in Riemannian Geometry, Elsevier (1975).