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指数映射 (李群)

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微分几何中,指数映射微积分中定义的指数函数在任意黎曼流形上的推广。李群上的指数映射是一类重要的情形。

定义

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微分流形 为其上的仿射联络。给定任一点 。根据常微分方程的基本理论,存在切空间 中的开子集 及光滑映射 ,使得:

  • 对每个 ,映射 测地线
  • 承上,

对够小的 ,映射 是唯一的。定义点 的指数映射为

由于常微分方程解的存在性只是局部性的,指数映射一般不能定义在整个 上,在黎曼流形的情形,霍普夫-里诺定理给出了充要条件。此外,指数映射通常也不是满映射,而是 的一个邻域。黎曼流形上由指数映射给出的坐标系称作测地法坐标

从几何上看,指数映射exp(p,v)是把切丛中的一个切向量v,映射到以(p,v)为初始条件的测地线从点p量起弧长等于|v|的点。

李群的情形

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李群,取定左、右不变之仿射联络,可得在整个李代数上定义的指数映射 。这是联系李代数与李群的主要工具。李群的指数映射满足下述性质:

  • ,则 ;对一般情形,左式可由 Campbell-Baker-Hausdorff 公式给出。
  • 在群论的意义下生成
  • 为李群同态 为它在单位元处的拉回作用,则我们有一交换图
  • 重要的特例是 (伴随作用),此时有

,相应者便是寻常的指数函数 。取 ,相应者是恒等映射

事实上,对复李群及任何完备上的解析李群都能定义指数映射。

文献

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  • Manfredo P. do Carmo, Riemannian Geometry, Birkhäuser (1992). ISBN 0-8176-3490-8. See Chapter 3.
  • Jeff Cheeger and David G. Ebin, Comparison Theorems in Riemannian Geometry, Elsevier (1975).