无穷元组合学

数学分支无穷元组合学（infinitary combinatorics），又称组合集合论（combinatorial set theory），是将组合学的想法推广到无穷集。研究对象有连续图、集合论的树、拉姆齐定理在无穷集的推广、马丁公理。在2010年，本分支的开展的研究还有：连续统上的组合学^[1]、奇异基数（英语：Regular cardinal）后继上的组合学^[2]。

无穷集的拉姆齐理论[编辑]

设 $\kappa ,\ \lambda$ 为序数， $m$ 为基数， $n$ 为正整数。Erdős & Rado (1956)引入记号

\kappa \rightarrow (\lambda )_{m}^{n}

作为下列命题的速记：

若将 $\kappa$ 所有 $n$ 元子集的集合 $[\kappa ]^{n}$ ，分划为 $m$ 份，则有一份包含序型为 $\lambda$ 的同质集。

所谓同质集，意思是 $\kappa$ 的子集，且其所有 $n$ 元子集皆在同一个分块中。也可以用染色的说法：

若有 $m$ 种色，并将 $\kappa$ 的每个 $n$ 元子集，各染一种色，则必有序型为 $\lambda$ 的同色集，即其所有 $n$ 元子集皆同色。

当 $m$ 为 $2$ 时，可省略不写。

假设选择公理（AC），则不存在序数 $\kappa$ 使得 $\kappa \rightarrow (\omega )^{\omega }$ 。此即上段取 $n$ 有限的原因。虽然不允许 $n$ 为无穷大，但仍可以同时考虑任意大的 $n$ 。符号

\kappa \rightarrow (\lambda )_{m}^{<\omega }

表示命题“若将 $\kappa$ 的所有有限子集染成 $m$ 种色，则有序型为 $\lambda$ 的子集 $X$ ，使得其对每个 $n$ ， $X$ 的所有 $n$ 元子集皆同色。”（但不同的 $n$ 之间，无需同色。）同样，当 $m$ 为 $2$ 时，可省略不写。

还有变式： $\kappa \rightarrow (\lambda ,\mu )^{n}$ 表示“若将 $\kappa$ 的所有 $n$ 元子集染成红、蓝两色，则或有序型为 $\lambda$ 的子集，其所有 $n$ 元子集皆为红，或有序型为 $\mu$ 的子集，其所有 $n$ 元子集皆为蓝。”

可以此记号表示的命题有：（下设 $\kappa$ 为基数）

\aleph _{0}\rightarrow (\aleph _{0})_{k}^{n}

对所有有限的

n,k

\beth _{n}^{+}\rightarrow (\aleph _{1})_{\aleph _{0}}^{n+1}

2^{\kappa }\not \rightarrow (\kappa ^{+})^{2}

2^{\kappa }\not \rightarrow (3)_{\kappa }^{2}

\kappa \rightarrow (\kappa ,\aleph _{0})^{2}

在无选择（choiceless，即选择公理不成立）的宇集中，上标为无穷的分划性质有可能成立。有部分是决定公理（AD）的推论，例如，当劳·马丁（英语：Donald A. Martin）证明，AD推出

\aleph _{1}\rightarrow (\aleph _{1})_{2}^{\aleph _{1}}.

一些大基数性质是用拉姆齐性质定义，如：

弱紧基数（英语：Weakly compact cardinal） $\kappa$ 满足 $\kappa \rightarrow (\kappa )^{2}$ ；
α艾狄胥基数（英语：Erdős cardinal） $\kappa$ 是满足 $\kappa \rightarrow (\alpha )^{\omega }$ 的最小基数；
拉姆齐基数（英语：Ramsey cardinal） $\kappa$ 满足 $\kappa \rightarrow (\kappa )^{\omega }$ 。

^ Blass, Andreas. Ch. 6: Combinatorial Cardinal Characteristics of the Continuum [第6章：连续统的组合基数特征]. Foreman, Matthew; Kanamori, Akihiro (编). Handbook of Set Theory [集合论手册]. Springer. 2010 （英语）.
^ Eisworth, Todd. Ch. 15: Successors of Singular Cardinals [第15章：奇异基数的后继]. Foreman, Matthew; Kanamori, Akihiro (编). Handbook of Set Theory [集合论手册]. Springer. 2010 （英语）.

Dushnik, Ben; Miller, E. W., Partially ordered sets [偏序集], American Journal of Mathematics, 1941, 63 (3): 600–610, ISSN 0002-9327, JSTOR 2371374, MR 0004862, doi:10.2307/2371374, hdl:10338.dmlcz/100377  （英语）
Erdős, Paul; Hajnal, András, Unsolved problems in set theory [集合论的未解问题], Axiomatic Set Theory ( Univ. California, Los Angeles, Calif., 1967) [公理化集合论（加州大学，洛杉矶，加州，1967）], Proc. Sympos. Pure Math, XIII Part I, Providence, R.I.: Amer. Math. Soc.: 17–48, 1971, MR 0280381 （英语）
Erdős, Paul; Hajnal, András; Máté, Attila; Rado, Richard, Combinatorial set theory: partition relations for cardinals [组合集合论：基数的分划关系], Studies in Logic and the Foundations of Mathematics 106, Amsterdam: North-Holland Publishing Co., 1984, ISBN 0-444-86157-2, MR 0795592 （英语）
Erdős, P.; Rado, R., A partition calculus in set theory [集合论的分划算数], Bull. Amer. Math. Soc., 1956, 62 (5): 427–489, MR 0081864, doi:10.1090/S0002-9904-1956-10036-0  （英语）
Kanamori, Akihiro. The Higher Infinite: Large Cardinals in Set Theory from their Beginnings [更高的无穷：从源流谈集合论的大基数] second. Springer. 2000. ISBN 3-540-00384-3 （英语）.
Kunen, Kenneth, Set Theory: An Introduction to Independence Proofs [集合论：独立性证明导论], Amsterdam: North-Holland, 1980, ISBN 978-0-444-85401-8 （英语）