纯态

纯态（pure state）这个名词出现在几个领域，包括物理方面的量子力学以及数学方面的泛函分析理论。

量子力学[编辑]

在量子力学当中，纯态由一个相同统计系综(ensemble)所构成，而相对于纯态的混态(mixed state)则可以分解两个以上的系综。在量子力学中有诸多表示型(formalism)，一个量子态可由密度矩阵或称密度算符表示，区分纯态和混态的方法即可由此得之。纯态S可用狄拉克符号的右括向量表示：

S=|\Psi \rangle

或写成密度矩阵表示型则为：

S=\rho =|\Psi \rangle \langle \Psi |

给定的量子态对应不同的右矢（相差一个相位）， $|\Psi '\rangle =e^{i\phi }|\Psi \rangle$ ，但对应唯一的密度矩阵 $\rho$ ，从这个角度说，密度矩阵表示更为经济^[1]。由此推广，可以用密度矩阵表示定义更一般的态，

S=\rho =\sum _{i=1}^{N}c_{i}|\Psi _{i}\rangle \langle \Psi _{i}|

其中， $\{|\Psi _{i}\rangle \}$ 是一组（不一定互相正交的）纯态，且 $0<c_{i}\leq 1$ 并满足 $\displaystyle {\textstyle \sum _{i}}c_{i}=1$ 。注意数 $N$ 并不受希尔伯特空间维数的限制。

混态[编辑]

对于密度矩阵 $\rho$ 表述的量子态，若其不能写作纯态的密度矩阵（其中 $N=1$ 且 $c_{1}=1$ ），则称作混态。

区分纯态与混态[编辑]

区分纯态与混态的方法要利用到 $tr(\rho )\,$ 。 $tr(\rho )\,$ 表示对矩阵 $\rho \,$ 取对角线元素和(trace)，将纯态和混态做归一化动作，使得 $tr(\rho )\,$ 之值皆会是1。

而两者不同处在于 $tr(\rho ^{2})\,$ ：归一化过的纯态 $tr(\rho ^{2})=tr(\rho )=1\,$ ，而归一化过的混态则 $tr(\rho ^{2})<1\,$ ，和 $tr(\rho )=1\,$ 不同，由此得以辨别出纯态与混态。

举例[编辑]

$\rho _{1}={\begin{pmatrix}{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}\\{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}\end{pmatrix}}$ 为纯态， $\rho _{2}={\begin{pmatrix}{\frac {1}{2}}&0\\0&{\frac {1}{2}}\end{pmatrix}}$ 为混态

\Rightarrow tr(\rho _{1})=tr(\rho _{2})={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}=1

$\rho _{1}^{2}=\rho _{1}*\rho _{1}={\begin{pmatrix}{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}\\{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}\end{pmatrix}}$ ； $\rho _{2}^{2}=\rho _{2}*\rho _{2}={\begin{pmatrix}{\frac {1}{4}}&0\\0&{\frac {1}{4}}\end{pmatrix}}$ 。