肯普纳级数
肯普纳级数(英语:Kempner series)是十进制写法不含数字9的正整数的倒数和。用符号可写成
其中“缺9”意思是“十进制表示中,不含数字9”,下同。奥伯利·肯普纳于1914年最早研究该级数。[1]肯普纳级数是由调和级数删走含数字9的项所得,但肯普纳级数收敛,调和级数则发散。肯普纳证明,级数之和小于90。罗伯特·贝利[2]证明,级数准确到小数点后20位的值为22.92067661926415034816(OEIS数列A082838)。
直观理解,级数收敛是因为大部分“大数”都有齐0至9的全部数字。例如,均匀随机选一个100位的正整数,很易包含至少一个数字9,于是级数不计该数的倒数。
施梅尔策与贝利[3]找到高效算法,给定任意数字串为输入,计算缺该串的正整数倒数和。此问题推广了原本的级数求值问题。举例,考虑所有缺数字串“42”的正整数,其倒数和约为228.44630415923081325415。又举例,缺数字串“314159”的正整数倒数和约为2302582.33386378260789202376。(上述数值皆四舍五入至末位。)
命名
[编辑]许多文献中,级数未有命名。[4]MathWorld用Kempner series为条目名。[5]朱利安·哈维尔所著《伽玛》(论欧拉-马斯刻若尼常数)亦采用同一名称。[6]:31–33
收敛
[编辑]肯普纳对数列收敛之证明[1],载于若干教科书,如哈代与赖特合著《数论导论》[7]:120,亦是阿波斯托《数学分析》的习题[8]:212。证明如下。
将级数各项按分母的位数分组。由乘法原理,缺“9”的位正整数共有个,因为最高位有8个选择(1至8,首位不为零),而其后位,每位有9种选择(0至8),且各位的选择互相独立。任何位数皆不小于,故其倒数至多为。所以,缺“9”的位正整数之倒数,对级数的贡献,至多是。因此,将各组贡献加总,全个级数至多为
若将禁止出现的“9”换成其他非零数字,则同样的论证仍成立。至于缺“0”的情况,缺“0”的位正整数共有个,故缺“0”正整数的倒数和至多为:
若删去含有某串位子字串的项,例如忽略所有分母含子字串“42”的项,则级数同样收敛。证明方法几乎一样[3],先观察在进制中,删去含有该字串为“位”的项,则前述证明适用,证出新级数收敛。但是,新级数比欲证收敛的级数更大,原因是欲证收敛的级数中,不仅删走以该字串为进制位的项,还删走了跨进制位而含该字串的项。接续前一个例子,百进制的新级数略过4217(百进制的首位是42)和1742(百进制的末位是42),但未略过1427,而欲证收敛的级数中,连1427也一并略去。
巴基尔·法喜[9]研究恰有个数字(满足)的正整数倒数和,此为肯普纳级数的推广,因为原级数即为。法喜证明,对每个,数列由起取值递减,且当趋向无穷大时,收敛到。不过,数列一般并非由起递减,例如原级数值为,比时任意一个更小。
数值方法
[编辑]级数收敛得很慢。贝利[2]写道,即使计算前1024项和,其后馀项仍超过1。[10]
80是很粗略的上界。弗兰克·厄文较仔细地分析后[11],证明级数值接近23。此后,再由贝利改进到前述的22.92067…。[2]
贝利[2]以表示缺某指定数字的所有位正整数的次方倒数和,然后推导出,只要有齐对所有非负整数的值,就能递归计算。于是,祗需较少的计算,已得到原级数的准确估计。
参见
[编辑]参考文献
[编辑]- ^ 1.0 1.1 Kempner, A. J. A Curious Convergent Series [某稀奇的收敛级数]. American Mathematical Monthly (Washington, DC: Mathematical Association of America). 1914-02, 21 (2): 48–50. ISSN 0002-9890. JSTOR 2972074. doi:10.2307/2972074 (英语).
- ^ 2.0 2.1 2.2 2.3 Baillie, Robert. Sums of Reciprocals of Integers Missing a Given Digit [缺给定数字的整数倒数和]. American Mathematical Monthly (Washington, DC: Mathematical Association of America). 1979-05, 86 (5): 372–374. ISSN 0002-9890. JSTOR 2321096. doi:10.2307/2321096 (英语).经[10]订正。
- ^ 3.0 3.1 Schmelzer, Thomas; Baillie, Robert. Summing a Curious, Slowly Convergent Series [求某稀奇而收敛得慢的级数和]. American Mathematical Monthly (Washington, DC: Mathematical Association of America). 2008-06, 115 (6): 525–540. ISSN 0002-9890. JSTOR 27642532. MR 2416253 (英语).
- ^ 赵显曾; 冯世; 程乃毅. 调和级数的收敛子级数的和. 南京工学院学报. 1985, (3) [2021-11-08]. (原始内容存档于2021-11-08).
- ^ Weisstein, Eric W. (编). Kempner series. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. (英语).
- ^ Havil, Julian. Gamma: Exploring Euler's Constant [伽玛:探索欧拉常数]. Princeton: Princeton University Press. 2003. ISBN 978-0-691-09983-5 (英语).
- ^ Hardy, G. H.; Wright, E. M. An Introduction to the Theory of Numbers [数论导论] 5th. Oxford: Clarendon Press. 1979. ISBN 0-19-853171-0 (英语).
- ^ Apostol, Tom. Mathematical Analysis [数学分析]. Boston: Addison–Wesley. 1974. ISBN 0-201-00288-4 (英语). 该书有中译本:
Tom M. Apostol(著); 邢富冲; 邢辰; 李松洁; 贾婉丽(译). 数学分析. 华章数学译丛. 机械工业出版社. 2006. ISBN 7-111-18014-3. - ^
Farhi, Bakir. A Curious Result Related to Kempner's Series [有关肯普纳级数的稀奇结果]. American Mathematical Monthly (Washington, DC: Mathematical Association of America). December 2008, 115 (10): 933–938. Bibcode:2008arXiv0807.3518F. ISSN 0002-9890. JSTOR 27642640. MR 2468554. arXiv:0807.3518
(英语).
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