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菲茨休-南云方程

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当刺激电流强度I=0.5时,膜电位对于时间的函数。
蓝线为菲茨休-南云模型在相空间中的轨迹,粉线为三次零斜率线英语nullcline,黄线为线性零斜率线。这里的刺激电流强度被设为0.5。

菲茨休-南云方程(Fitzhugh-Nagumo equation)是一个非线性偏微分方程,最早由理查德·菲茨休(Richard FitzHugh)于1961年提出[1],描述了在高于阈值的常电流刺激下神经元动作电位的周期性振荡[2]。当时菲茨休将其称为“朋霍费尔-范德波尔模型(Bonhoeffer-van der Pol model)”。次年,南云仁一等人也提出了一个与该方程等效的电路[3]。该方程为霍奇金-赫胥黎模型英语Hodgkin-Huxley model的二维情形[4];后者因揭示了枪乌贼巨大轴突动作电位的产生和传导机制而分享了1963年的诺贝尔生理学或医学奖

方程

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用于描述枪乌贼巨大轴突中动作电位的菲茨休-南云方程如下[4]

其中,膜电位为回复变量,刺激电流的强度。该方程的一般形式可写作:

其中为三次多项式;a,b,c为常数。

行波解

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菲茨休-南云方程行波解的动画

菲茨休 - 南云方程的解析解如下:

[5]

利用Maple软件包TWSolution可得以下行波解[6][注 1]

相关条目

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注释

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  1. ^ 行波解可通过使用Tanh函数展开法得到的方程组来实现[7]
    u(x, t) = 1/2+(1/2)*tanh(_C1+(1/4)*sqrt(2)*x-(1/4)*t)
    u(x, t) = 1/2+(1/2)*tanh(_C1-(1/4)*sqrt(2)*x-(1/4)*t)
    u(x, t) = 1/2-(1/2)*tanh(_C1-(1/4)*sqrt(2)*x+(1/4)*t)
    u(x, t) = 1/2-(1/2)*tanh(_C1+(1/4)*sqrt(2)*x+(1/4)*t)

参考文献

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  1. ^ FitzHugh, Richard. Impulses and Physiological States in Theoretical Models of Nerve Membrane. Biophysical Journal. 1961-07, 1 (6): 445–466. doi:10.1016/S0006-3495(61)86902-6. 
  2. ^ Griffiths, Graham. Traveling Wave Analysis of Partial Differential Equations : Numerical and Analytical Methods with Matlab and Maple.. Burlington: Elsevier Science. : 147-172. ISBN 9780123846532. 
  3. ^ Nagumo, J.; Arimoto, S.; Yoshizawa, S. An Active Pulse Transmission Line Simulating Nerve Axon. Proceedings of the IRE. 1962-10, 50 (10): 2061–2070. doi:10.1109/JRPROC.1962.288235. 
  4. ^ 4.0 4.1 Izhikevich, Eugene; FitzHugh, Richard. FitzHugh-Nagumo model. Scholarpedia. 2006, 1 (9): 1349. doi:10.4249/scholarpedia.1349. 
  5. ^ Griffiths, Graham. Traveling Wave Analysis of Partial Differential Equations : Numerical and Analytical Methods with Matlab and Maple.. Burlington: Elsevier Science. : 166. ISBN 9780123846532. 
  6. ^ Griffiths, Graham. Traveling Wave Analysis of Partial Differential Equations : Numerical and Analytical Methods with Matlab and Maple.. Burlington: Elsevier Science. : 436. ISBN 9780123846532. 
  7. ^ Wazwaz, Abdul-Majid. The tanh method for traveling wave solutions of nonlinear equations. Applied Mathematics and Computation. 2004-07, 154 (3): 713–723. doi:10.1016/S0096-3003(03)00745-8. 

拓展阅读

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  • 谷超豪 《孤立子理论中的达布变换及其几何应用》 上海科学技术出版社
  • 阎振亚著 《复杂非线性波的构造性理论及其应用》 科学出版社 2007年
  • 李志斌编著 《非线性数学物理方程的行波解》 科学出版社
  • 王东明著 《消去法及其应用》 科学出版社 2002
  • 何青 王丽芬编著 《Maple 教程》 科学出版社 2010 ISBN 9787030177445
  • Graham W. Griffiths William E.Shiesser Traveling Wave Analysis of Partial Differential p135 Equations Academy Press
  • Richard H. Enns George C. McCGuire, Nonlinear Physics Birkhauser,1997
  • Inna Shingareva, Carlos Lizárraga-Celaya,Solving Nonlinear Partial Differential Equations with Maple Springer.
  • Eryk Infeld and George Rowlands,Nonlinear Waves,Solitons and Chaos,Cambridge 2000
  • Saber Elaydi,An Introduction to Difference Equationns, Springer 2000
  • Dongming Wang, Elimination Practice,Imperial College Press 2004
  • David Betounes, Partial Differential Equations for Computational Science: With Maple and Vector Analysis Springer, 1998 ISBN 9780387983004
  • George Articolo Partial Differential Equations & Boundary Value Problems with Maple V Academic Press 1998 ISBN 9780120644759