逆小波转换(inverse wavelet transform)为小波转换的反函数,小波转换大致分为三类
- 连续小波转换
- 离散变数连续小波转换
- 离散小波转换
分别介绍此三种的反函数
已知
则逆转换为
其中
证明:
由于
假设
则
经过傅立叶转换,原本的折积性质变为相乘
如果母小波为实函数,则其傅立叶转换有以下性质
(使用变数代换
)
得证
为
的双效函数(dual function),满足以下正交(orthogonal)特性
或是
通常会设计成
因此离散变数连续小波转换能进行逆转换的条件为:
在这里解释的是如何重建(reconstruction)一个经过离散小波转换的函数
以进行一阶离散小波转换,升降频倍率为2为例,可以得到右图的架构
DWT reconstruction
需要满足一些条件才能使
将此流程进行Z转换及化简可得到:
因此为了得到
,须满足以下二条件
![{\displaystyle G(z)G_{1}(z)+H(z)H_{1}(z)=2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/debe5592e928571cbcfd01341e74af0459c746d1)
![{\displaystyle G(-z)G_{1}(z)+H(-z)H_{1}(z)=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/12495ffae427942cbc6a5c1f7a7cd5d421c49967)
可转换为
化简得到
其中
要满足上式须满足以下四个条件,此四条件及上式的关系为若且唯若
![{\displaystyle \sum _{p}g[p]g_{1}[2n-p]=\delta [n]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7d97636d3faa27ceece12bcfa5343600ebfa2d48)
![{\displaystyle \sum _{p}h[p]h_{1}[2n-p]=\delta [n]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e7ce8ce2fcb8c4235d95b5a4c6e447232d54b4a7)
![{\displaystyle \sum _{p}g[p]h_{1}[2n-p]=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8654da55c60d9be5c25bb391dede79739d98ac1b)
![{\displaystyle \sum _{p}g_{1}[p]h[2n-p]=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d75899cac2c019c97232b632897beef49e8c651)
证明于参考条目中
因此只要
符合上述条件就能将经过离散小波转换的
重建为x[n]
- Jian-Jiun Ding (2014) Time-Frequency Analysis and Wavelet Transform (页面存档备份,存于互联网档案馆)