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斯梅尔悖论

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一 Morin曲面的俯视图

差拓扑结构中,球面外翻(Sphere eversion)是指在三维空间中,将球面从内向外翻。值得注意的是,我们有办法在不割开、撕裂或制造折痕的前提下,连续且光滑地将球面由内向外翻(有可能产生自交英语Self-intersection)。 这对非数学家甚至是了解定期同伦英语Regular homotopy的人来说都十分意外,并可以被视为一种真诡论:乍看下是假,实际上为真。

更准确地说,令

为标准嵌入,则有一个定期同伦的浸入

使得ƒ0 = ƒ 且 ƒ1 = −ƒ。

历史

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无折痕球面外翻的存在性证明是由史蒂芬·斯梅尔于1957年率先完成。虽然已经有一些电脑动画帮助人们想像,但很难提供这种翻转的动画片。第一个展示性的例子经过数位数学家的努力才完成,包括弗拉基米尔·阿诺尔德和盲人数学家伯纳德·莫兰英语Bernard Morin。另一方面,证明这样的“翻转”存在容易多了,这就是斯梅尔证明的事。

刚开始斯梅尔的博士指导老师拉乌尔·博特告诉他这件事显然是错误的(Levy 1995)。他的推论是,映射度高斯映射必须保存在这种“翻转”—特别地,这表示在R2没有这种S1的翻转。但在R3中, 嵌入f 和 −f对应的高斯映射 在 R3 都等于1,并且没有相反的符号作猜测。 所有 R3S2的浸入,它对应的高斯映射映射度都是1,所以没有问题。“真悖论”也许更适合用在这个级别:在斯梅尔的工作之前,没有任何尝试论证或反正外翻 S2的纪录,所以历史上并没有关于球面外翻的纪录,只有第一次面对视觉化球面外翻的人,所留下对其精妙之处的赞扬。

进一步的一般化在h-原理英语Homotopy principle

参考文献

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